小猪佩奇学数学，LGR-060-div1-3，简单的单位根反演

最新推荐文章于 2024-12-15 02:46:19 发布

原创最新推荐文章于 2024-12-15 02:46:19 发布 · 199 阅读

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本文深入探讨了单位根反演在算法竞赛中的应用，通过具体实例讲解了如何利用单位根反演解决复杂问题。文章提供了详细的代码实现，包括DFT（离散傅里叶变换）和单位根的快速幂计算，以及组合数的计算技巧。

正题

这题就是裸的单位根反演，会做的就会做，不会的就怎么样也做不出来，可以看看我的Blog或者看看其他巨神的Blog再来做这题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int K=1<<20;
int n,p,k,limit,l=0;
int where[K<<1];
long long w[K];
long long f[K<<1],g[K<<1];
const long long mod=998244353;

long long ksm(long long x,long long t){
	long long tot=1;
	while(t){
		if(t&1) (tot*=x)%=mod;
		(x*=x)%=mod;
		t/=2;
	}
	return tot;
}

long long C(long long x){
	if(x==1 || x==0) return 0;
	return x*(x-1)/2%k;
}

void DFT(long long *now,int idft){
	for(int i=0;i<limit;i++) if(i<where[i]) swap(now[i],now[where[i]]);
	long long wn,w,a,b;
	for(int l=2;l<=limit;l<<=1){
		wn=ksm(3,(mod-1)/l*idft%(mod-1));
		for(int i=0;i<limit;i+=l){
			w=1;
			for(int x=i,y=i+l/2;y<i+l;x++,y++,(w*=wn)%=mod){
				a=now[x],b=now[y]*w%mod;
				now[x]=a+b,now[x]>=mod?now[x]-=mod:0;
				now[y]=a-b,now[y]<0?now[y]+=mod:0;
			}
		}
	}
}

int main(){
	scanf("%d %d %d",&n,&p,&k);
	w[0]=1;w[1]=ksm(3,(mod-1)/k);
	for(int i=2;i<k;i++) w[i]=w[i-1]*w[1]%mod;
	for(int i=0;i<k;i++) f[i]=i*w[C(i)]%mod;
	for(int i=0;i<k;i++) g[i]=w[C(i)]*ksm((p*w[i]+1)%mod,n)%mod;
	limit=1,l=0;
	while(limit<2*k-1) limit*=2,l++;
	for(int i=0;i<limit;i++) where[i]=(where[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(l-1));
	DFT(f,1);DFT(g,1);
	for(int i=0;i<limit;i++) f[i]=f[i]*g[i]%mod;
	DFT(f,mod-2);
	long long tmp=ksm(limit,mod-2);
	for(int i=0;i<limit;i++) f[i]=f[i]*tmp%mod;
	long long ans=0;
	for(int i=0;i<limit;i++) f[i]=f[i]*ksm(w[C(i)],mod-2)%mod,ans+=f[i];
	printf("%lld",(1ll*n*p%mod*ksm(p+1,n-1)%mod-ans%mod*ksm(k,mod-2)%mod+mod)*ksm(k,mod-2)%mod);
}