学习笔记第五十三节：单位根反演

最新推荐文章于 2022-11-02 10:57:53 发布

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本文深入探讨了快速傅立叶变换(FFT)中单位根的特性，及其在解决特定多项式求值问题上的巧妙应用。通过构造特定多项式，利用FFT的高效性，实现了对复杂表达式的快速计算，展示了数学与算法的完美结合。

正题

学过FFT的都知道单位根有一个这样的性质： $[n|t]=\frac{\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{it}}{n}$

那么我们就可以解决这样的东西： $\sum_{i=0}^nC_{n}^ip^ia_{i\mod k}$

怎么解决呢？我们枚举一个j： $\sum_{j=0}^{k-1}a_j\sum_{i=0}^nC_n^ip^i[k|i-j]$

我们构造一个多项式 $f(x)=\sum_{i=0}^nC_n^ip^ix^i$

你会发现一个奇妙的事情：

$\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i) \\=\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{j=0}^nC_n^jp^j\omega_k^{ij} \\=\sum_{j=0}^nC_n^jp^j\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{ij} \\=\sum_{j=0}^nC_n^jp^j[k|j]$

如果我们要求 $\sum_{j=0}^nC_n^jp^j[k|j-q]$ ，把它往上推发现第一条式子变成了 $\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i)\omega_k^{-iq}$

那么原来的式子就变成了 $\sum_{j=0}^{k-1}a_j\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i)\omega_k^{-ij}$ 。

好的这个式子就是k^2的，因为f可以快速算。

当然你也可以把它看成自变量为 $\omega_k^{-j}$ ，然后直接快速插值。

我们来想想一个式子： $C_{i+j}^2-C_i^2-C_j^2=ij$ ，展开即可证明

然后就变成了 $\sum_{j=0}^{k-1}a_j\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i)\omega_k^{-C_{i+j}^2+C_i^2+C_j^2}$

把后面那一项拆开就可以一遍NTT了！

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