【888题竞赛篇】第六题，2023ICPC济南-来自知识的礼物(Gifts from Knowledge)

ICPC竞赛稀疏矩阵反转题解

最新推荐文章于 2024-10-23 14:40:07 发布

原创

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#c++ #算法 #数据结构 #图论 #ICPC #竞赛 #蓝桥杯

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更多精彩内容
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原题
- 2023ICPC济南真题来自知识的礼物
- B站动画详解
问题分析
思路分析
算法实现
代码详解
- 标准代码程序
复杂度分析
- 时间复杂度
- 空间复杂度
总结

原题

2023ICPC济南真题来自知识的礼物

B站动画详解

问题分析

这道题涉及到对二进制稀疏矩阵的行进行反转，目的是让每一列最多只有一个 1。我们可以从题目描述中提炼出以下关键信息：

反转操作：可以选择任意行进行反转，也可以不反转。反转的含义是将一行从左到右的元素顺序倒置。
列中 1 的限制：我们需要找到所有使得每一列至多有一个 1 的方案。

思路分析

本题的目标是计算可以选择的行反转方案数，使得每一列至多有一个 $1$ 。由于行反转后，列中的 $1$ 可能会改变其位置，因此需要处理不同行之间的关系，并通过图论建模找到有效的反转方案。

考虑每列的 $1$ 位置，我们可以将其看作不同的连通块问题。具体而言，当两行之间有相同列的 $1$ 出现时，它们需要一起被考虑，因为其中一行的反转会影响另一行。我们将问题转化为连通块的合并操作：如果两行之间有重合的 $1$ ，那么它们需要被合并为一个连通块。每个连通块可以选择反转或不反转，从而给出两种选择。

为了有效处理这些合并操作，我们使用并查集来管理这些连通块关系。最后，计算所有连通块的方案数（即 $2^{连通块数}$ ）。需要注意的是，由于结果可能非常大，答案需要对 $10^9 + 7$ 取模。

算法实现

算法的核心在于使用并查集来处理连通块的合并操作，并通过连通块的数量计算可行方案。具体步骤如下：

数据预处理与初始化：通过读取每一行的二进制字符串，记录每列中有哪些行存在 $1$ 。这些信息可以帮助我们判断哪些行需要被合并。
连通块合并：针对每列的 $1$ ，判断哪些行需要被合并，并使用并查集进行操作。如果存在矛盾（即同一个连通块中存在行与其反转后的自身冲突），则方案数为 0。
结果计算：通过遍历所有连通块，计算最终方案数为 $2^{连通块数/2}$ ，并对 $10^9 + 7$ 取模。
特殊处理：考虑到列数为奇数时的特殊情况，我们需要额外检查中间列是否满足条件。

代码详解

标准代码程序

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10;
vector<int> ones[N],G[N];
char s[N];
int mod = 1e9 + 7,f[N];
int find(int x)
{
   
   
	return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);
}
void merge(int x,int y)
{
   
   
	f[find(x)]=find(y);
}
void addEdge(int x,int y)
{
   
   
	G[x].push_back(y);
	G[y].push_back(x);
}
void solve()
{
   
   
	int n,m,cnt=0;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++) ones[i].clear();
	for(int i=1;i<=n+n;i++) G[i].clear(),f[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
   
   
		cin>>s+1;
		for(int j=1;j<=m;j++) 
		{
   
   
			if(s[j]=='1') 
			{
   
   
				ones[j].push_back(i);
			}
		}
	}
	for(int i=1,j=m;i<=m/2;i++,j--)
	{
   
   
		if(ones[i].size()+</