Math Reference Notes: 反函数

1. 反函数的定义

在数学中，反函数是与原函数相对的函数。具体来说，假设 $f$ 是一个从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数，表示为：
$$f:A\to B.$$
若存在一个函数 $f^{-1}:B\to A$，使得对于所有 $x\in A$ 和 $y\in B$ 满足：
$$f(x)=y\text{当且仅当}{f}^{-1}(y)=x,$$
那么这个 $f^{-1}$ 就称为 $f$ 的反函数。

简而言之，反函数 $f^{-1}(y)$ 将原函数的输出值 $y$ 映射回输入值 $x$。这表示反函数与原函数之间是“反向”的关系。反函数的存在并非所有函数都有，它需要满足一定条件。

2. 反函数的存在条件

反函数的存在有条件，只有当原函数是一一对应的，即既是单射（injective）又是满射（surjective）时，反函数才存在。

单射（Injective）与满射（Surjective）：

• 单射：函数 $f$ 是单射意味着对于 $A$ 中的任意两个不同元素 $x_1$ 和 $x_2$，如果它们的映射相等，即 $f(x_1)=f(x_2)$，那么必须有 $x_1=x_2$。简而言之，不同的输入不能有相同的输出。

• 满射：函数 $f$ 是满射意味着对于集合 $B$ 中的每一个元素 $y$，都存在一个元素 $x\in A$，使得 $f(x)=y$。换句话说，$f$ 的输出涵盖了整个集合 $B$。

如果 $f$ 既是单射又是满射，我们称 $f$ 为一一对应函数（bijective），这种函数才有反函数。

3. 反函数的基本性质

反函数具有以下重要性质：

1. 反函数的复合

   假设有两个函数 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$，它们都有反函数 $f^{-1}:B\to A$ 和 $g^{-1}:C\to B$，那么复合函数 $f(g(x))$ 的反函数是：
   $$(f\circ g{)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.$$
   也就是说，复合函数的反函数是反函数的复合，顺序是反转的。

2. 反函数的反函数

   反函数的反函数就是原函数：
   $$(f^{-1}{)}^{-1}=f.$$
   也就是说，对反函数求反函数，我们将返回原始函数。

3. 反函数的对称性

   反函数的图像与原函数的图像关于直线 $y=x$ 对称。假设点 $(a,b)$ 在函数 $f$ 的图像上，满足 $f(a)=b$，那么点 $(b,a)$ 就会在反函数 $f^{-1}$ 的图像上，满足 $f^{-1}(b)=a$。

4. 单调性

   如果函数 $f$ 是单调的（即 $f$ 要么是单调递增，要么是单调递减的），那么其反函数 $f^{-1}$ 也必定是单调的。具体来说：

   • 如果 $f(x)$ 是单调递增的，则 $f^{-1}(x)$ 也是单调递增的。
   • 如果 $f(x)$ 是单调递减的，则 $f^{-1}(x)$ 也是单调递减的。

4. 反函数的几何意义

反函数在几何上具有重要的意义，其图像与原函数的图像总是关于直线 $y=x$ 对称。这一对称性帮助我们从原函数的图像推导出反函数的图像。

• 图像的对称性

  假设点 $(a,b)$ 在函数 $f(x)$ 的图像上，即 $f(a)=b$，那么点 $(b,a)$ 就会在反函数 $f^{-1}(x)$ 的图像上。图像关于直线 $y=x$ 对称，意味着 $f^{-1}(b)=a$。

• 绘制反函数的图像

  1. 画出函数 $f(x)$ 的图像。
  2. 对于每一个点 $(x,y)$，交换坐标得到新的点 $(y,x)$。
  3. 连接所有新的点，得到反函数的图像。

这种方法可以帮助我们直观地理解反函数的形状。

5. 反函数的求解方法

基本步骤

求反函数的基本步骤是：

1. 设定函数关系：首先，给定函数 $f(x)$ 的表达式，设 $y=f(x)$。
2. 交换变量：将方程中的 $x$ 和 $y$ 互换，得到 $x=f(y)$。
3. 解出 $y$：解方程，得到 $y$ 的表达式，这就是反函数的表达式。

举例说明

• 例子1：求 $f(x)=3x-5$ 的反函数

  1. 设定函数关系：
     $$y=3x-5.$$
  2. 交换变量：
     $$x=3y-5.$$
  3. 解出 $y$：
     $$x+5=3y\Rightarrow y=\frac{x+5}{3}.$$
     所以反函数为：
     $$f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}.$$

• 例子2：求 $f(x)=\frac{x}{x+1}$ 的反函数

  1. 设定函数关系：
     $$y=\frac{x}{x+1}.$$
  2. 交换变量：
     $$x=\frac{y}{y+1}.$$
  3. 解出 $y$：
     $$x(y+1)=y\Rightarrow xy+x=y\Rightarrow xy-y=-x.$$
     $$y(x-1)=-x\Rightarrow y=\frac{-x}{x-1}.$$
     所以反函数为：
     $$f^{-1}(x)=\frac{-x}{x-1}.$$

求反函数时的注意事项

求反函数时，解方程时可能会遇到多个解的情况。这时，反函数的存在性需要满足单射条件，即每个 $y$ 对应一个唯一的 $x$。如果存在多个解，说明反函数不存在。

6. 反函数的应用

反函数在数学和实际应用中有广泛的应用，尤其在解方程、几何变换、概率与统计中有重要作用。

• 解方程

  反函数可以帮助我们反向推导未知量。比如，已知函数 $f(x)=y$，通过求解反函数 $f^{-1}(y)$，可以求出 $x$ 的值。

• 坐标变换

  在几何学中，反函数常用于描述坐标变换，特别是在旋转、平移、反射等几何变换中，反函数能帮助我们从变换后的坐标回推原始坐标。

• 概率与统计

  反函数在概率分布中也有重要应用。给定累积分布函数（CDF），我们可以使用反函数从给定的累积概率反推出随机变量的具体值。