Math Reference Notes: 函数平移中的“左加右减”现象

在研究函数图像的平移时，有一个常见规律叫做“左加右减”，这个现象涉及的是函数的横向平移，即函数图像在 x 轴方向上的移动。理解“左加右减”的核心在于如何修改自变量 $x$，并对图像位置产生相应的影响。

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1. 函数的平移

函数的平移是指将整个函数的图像沿某个方向平移，而不改变图像的形状。平移通常分为两种类型：

• 横向平移：沿 x 轴方向平移。
• 纵向平移：沿 y 轴方向平移。

其中，“左加右减”现象是针对横向平移而言的。

1.1 基本函数形式

考虑一个函数 $f(x)$，如果我们希望将它的图像向左或向右平移，可以通过改变函数的自变量来实现。

2. “左加右减”的解释

“左加右减”是指：当在函数的自变量 $x$ 中添加一个正数时，函数的图像会向左平移；当自变量中减去一个正数时，函数的图像会向右平移。

• 向右平移：如果函数图像向右平移 $h$ 个单位，我们将自变量 $x$ 替换为 $x-h$，即函数变为 $f(x-h)$。
• 向左平移：如果函数图像向左平移 $h$ 个单位，我们将自变量 $x$ 替换为 $x+h$，即函数变为 $f(x+h)$。

2.1 向右平移的数学描述

给定一个函数 $f(x)$，如果我们希望它的图像向右平移 $h$ 个单位，新的函数表达式为：
$$y=f(x-h)$$
为什么是向右平移？

• 当 $x=h$ 时，新的函数值 $f(x-h)=f(0)$ 对应了原函数的值 $f(0)$，也就是说，原来函数在 $x=0$ 处的值，现在出现在 $x=h$ 处。因此，整个图像向右移动了 $h$ 个单位。

2.2 向左平移的数学描述

同样地，给定函数 $f(x)$，如果我们希望它的图像向左平移 $h$ 个单位，新的函数表达式为：
$$y=f(x+h)$$
为什么是向左平移？

• 当 $x=-h$ 时，新的函数值 $f(x+h)=f(0)$ 对应原函数的值 $f(0)$，意味着原来函数在 $x=0$ 处的值，现在出现在 $x=-h$ 处。因此，图像向左移动了 $h$ 个单位。

3. 实例解析

3.1 向右平移

假设函数 $f(x)=x^2$，如果我们将该函数向右平移 2 个单位，则新的函数形式为：
$$y=f(x-2)=(x-2{)}^2$$
原函数 $f(x)=x^2$ 的顶点在 $(0,0)$，而新函数 $f(x-2)$ 的顶点在 $(2,0)$，所以图像向右平移了 2 个单位。

3.2 向左平移

同样的函数 $f(x)=x^2$，如果将它向左平移 3 个单位，新的函数形式为：
$$y=f(x+3)=(x+3{)}^2$$
原函数的顶点在 $(0,0)$，而新函数 $f(x+3)$ 的顶点在 $(-3,0)$，所以图像向左平移了 3 个单位。

4. 为什么是“左加右减”？

这个现象可以通过代数和几何的角度来理解。

4.1 从代数的角度理解

考虑函数 $f(x)$ 的自变量 $x$ 被替换为 $x-h$：

• 当我们代入 $x=h$ 时，新的表达式变为 $f(h-h)=f(0)$，即函数的值与原函数在 $x=0$ 处的值相同。因此，图像被向右移动了 $h$ 个单位。

同理，若将自变量替换为 $x+h$，那么代入 $x=-h$ 时，新的表达式变为 $f(-h+h)=f(0)$，表明图像向左移动了 $h$ 个单位。

4.2 从几何的角度理解

函数的平移是通过改变 x 轴上的坐标来实现的。如果在自变量中加入一个正数 $h$，那么图像中的所有点的 x 坐标都会减少 $h$（即向左移动）；相反，如果减去一个正数 $h$，图像中的所有点的 x 坐标都会增加 $h$（即向右移动）。

5. 纵向平移：上下移动

除了“左加右减”的横向平移外，函数图像还可以进行纵向平移，即沿 y 轴方向的移动。这种平移不涉及改变自变量，而是直接改变函数值：

• 向上平移 $k$ 个单位：函数变为 $f(x)+k$。
• 向下平移 $k$ 个单位：函数变为 $f(x)-k$。

5.1 纵向平移的例子

考虑函数 $f(x)=x^2$，如果将其图像向上平移 3 个单位，则新的函数为：
$$y=f(x)+3=x^2+3$$
图像整体向上移动了 3 个单位，原顶点 $(0,0)$ 现在变为 $(0,3)$。

同理，若向下平移 4 个单位，则函数变为：
$$y=f(x)-4=x^2-4$$
图像整体向下移动了 4 个单位，顶点变为 $(0,-4)$。