Math Reference Notes: 数学中的自变量

在数学中，自变量 $x$ 和 $-x$ 是两个相反数，它们在函数的输入中表现为符号的不同。这种符号的差异不仅会影响函数的输出，还会改变函数图像的对称性和形状。为了更好地理解自变量 $x$ 与 $-x$ 的不同作用，我们可以从代数、几何以及分析的角度来探讨它们的表现和影响。

---

1. 代数上的区别

• $x$ 与 $-x$ 的基本代数性质

  对于任何实数 $x$，$-x$ 就是 $x$ 的相反数，具有以下基本性质：

  • $x+(-x)=0$
  • $x\times (-x)=-x^2$
  • $x^2=(-x{)}^2$

  这些性质说明，代数上 $x$ 和 $-x$ 的加法会相互抵消，但它们的平方总是相等。这些性质在函数的奇偶性分析中起到了关键作用。

• 负数的代数运算

  负数从实数系统中的对称性角度被引入，补全了整数系统，满足加法的逆运算。代数中，$-x$ 通常用于表示方向或符号的翻转。在解决方程时，负数可以引入复数的概念，例如 $\sqrt{-1}=i$。

2. 函数中的 $f(x)$ 和 $f(-x)$

• 函数奇偶性

  函数 $f(x)$ 与 $f(-x)$ 的关系决定了函数的奇偶性，也揭示了函数的对称性。

  • 偶函数（Even Function）：如果 $f(x)=f(-x)$，则函数为偶函数，图像关于 $y$ 轴对称。例如，$f(x)=x^2$ 是偶函数，因为 $f(-x)=x^2$。
  • 奇函数（Odd Function）：如果 $f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数，图像关于原点对称。例如，$f(x)=x^3$ 是奇函数，因为 $f(-x)=-x^3$。

• 对称性的代数解释

  对于偶函数，$f(x)=f(-x)$，表明 $x$ 和 $-x$ 处的输出相同，图像关于 $y$ 轴对称。对于奇函数，$f(-x)=-f(x)$，表示 $-x$ 处的输出是 $x$ 处的相反数，图像关于原点对称。

• 举例

  • $f(x)=\cos (x)$ 是偶函数，因为 $\cos (-x)=\cos (x)$。
  • $f(x)=\sin (x)$ 是奇函数，因为 $\sin (-x)=-\sin (x)$。
  • $f(x)=e^x$ 既不是奇函数也不是偶函数，因为 $e^{-x}\ne e^x$ 且 $e^{-x}\ne -e^x$。

3. 几何上的区别

• 函数图像对称性

  • 偶函数的几何对称性：偶函数的图像关于 $y$ 轴对称。即正 $x$ 轴上的图像与负 $x$ 轴上的图像是镜像的。

  • 奇函数的几何对称性：奇函数的图像关于原点对称。正 $x$ 轴的点 $(x,f(x))$ 与负 $x$ 轴的点 $(-x,-f(x))$ 互为对称。

• 几何变换中的 $-x$

  在几何变换中，$-x$ 通常表示关于 $y$ 轴的水平反射。例如，$f(x)=x^2$ 的图像用 $-x$ 替换后保持不变，因为 $(-x{)}^2=x^2$；而 $f(x)=x^3$ 的图像关于原点对称，当用 $-x$ 替换 $x$ 时，函数图像会翻转。

4. 分析中的 $x$ 与 $-x$

• 导数与 $-x$

  • 偶函数的导数：偶函数的一阶导数是奇函数。例如，$f(x)=x^2$ 是偶函数，其导数 $f^{\prime }(x)=2x$ 是奇函数。

  • 奇函数的导数：奇函数的一阶导数是偶函数。例如，$f(x)=x^3$ 是奇函数，其导数 $f^{\prime }(x)=3x^2$ 是偶函数。

• 积分与 $-x$

  • 奇函数的定积分：若 $f(x)$ 是奇函数，则其在对称区间 $[-a,a]$ 上的定积分为零：
    $${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$$

  • 偶函数的定积分：若 $f(x)$ 是偶函数，则其在对称区间 $[-a,a]$ 上的定积分为正两倍的半区间积分：
    $${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$$

5. 函数平移中的 $x$ 与 $-x$

在函数平移时，$x$ 和 $-x$ 会影响平移的方向和对称性。一般的平移规则中“左加右减”仍然适用，但当涉及到 $-x$ 时，图像的方向会发生反转。
例如：

$f(x)=(x-2{)}^2$ 的图像向右平移 2 个单位。当自变量替换为 $-x$，即 $f(-x)=(x+2{)}^2$ 时，图像向左平移 2 个单位。