LeetCode#378有序矩阵中第k小元素

本文探讨了如何在给定的有序矩阵中寻找第k小的元素,通过将矩阵转换为一维数组并使用最小堆的数据结构进行排序,提供了一种有效的方法来解决这个问题。

题目描述


给定一个 n x n 矩阵,其中每行和每列元素均按升序排序,找到矩阵中第k小的元素。
请注意,它是排序后的第k小元素,而不是第k个元素。

示例:

matrix = [
   [ 1,  5,  9],
   [10, 11, 13],
   [12, 13, 15]
],
k = 8,

返回 13。
说明:
你可以假设 k 的值永远是有效的, 1 ≤ k ≤ n2 。

简单分析

想到最小堆,试了一下过了,但是因为我最小堆好像只能一维数组,这个转换为一维又空间占用很多的样子emmmm有序二维数组这个特点应该可以利用一下

代码

class Solution {
public:
    int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
    vector<int> nums;
    for(int i=0;i<matrix.size();i++){
        for(int j=0;j<matrix.size();j++){
            nums.push_back(matrix[i][j]);
        }
    }
    make_heap(nums.begin(),nums.end(),greater<int>());
    while(k>1){
        pop_heap(nums.begin(),nums.end(),greater<int>());
        nums.pop_back();
        k--;
    }
    return nums[0];
}
};

在这里插入图片描述

### 问题分析 Leetcode第378题“有序矩阵中第k小的素”,给定一个 `n x n` 的矩阵,其中每行列元素升序排序,要求找出矩阵中第 `k` 小的素。这道题的关键在于利用矩阵有序的特性,高效地找到第 `k` 小的素。 ### 解法分析 #### 优先队列(大顶堆) - **思路**:使用最大优先队列,保留 `k` 个最小的素,队列中最大的素即为第 `k` 小的素。遍历矩阵中的素,将其添加到队列中,若队列元素数目大于 `k`,则弹出堆顶最大的素。遍历结束后,堆顶素就是所求结果[^1]。 - **复杂度**:时间复杂度为 $O(n^2 log k)$,因为需要遍历矩阵中的所有素,每次插入删除操作的时间复杂度为 $O(log k)$;空间复杂度为 $O(k)$,主要用于优先队列存储素[^5]。 - **代码示例(Python)**: ```python import heapq class Solution: def kthSmallest(self, matrix, k): max_heap = [] for row in matrix: for element in row: heapq.heappush(max_heap, -element) if len(max_heap) > k: heapq.heappop(max_heap) return -max_heap[0] ``` #### 二分查找 - **思路**:以矩阵左上角素作为左边界 `left`,右下角素作为右边界 `right`,执行二分查找。对于中间值 `mid`,统计矩阵中小于等于 `mid` 的素个数 `count`。若 `count >= k`,说明第 `k` 小的素落在 `[left, mid]` 区间,更新 `right = mid`;否则落在 `[mid + 1, right]` 区间,更新 `left = mid + 1`。最终 `left` 即为所求结果[^2][^3][^4]。 - **复杂度**:时间复杂度为 $O(n log (max - min))$,其中 `max` `min` 分别是矩阵中的最大值最小值,每次二分查找需要 $O(n)$ 的时间来统计小于等于 `mid` 的素个数;空间复杂度为 $O(1)$,只使用了常数级的额外空间[^2][^3][^4]。 - **代码示例(Python)**: ```python class Solution: def kthSmallest(self, matrix, k): def search(mid, n): i, j = n - 1, 0 count = 0 while i >= 0 and j < n: if matrix[i][j] <= mid: count += (i + 1) j += 1 else: i -= 1 return count >= k n = len(matrix) left, right = matrix[0][0], matrix[n - 1][n - 1] while left < right: mid = left + (right - left) // 2 if search(mid, n): right = mid else: left = mid + 1 return left ``` ### 总结 - 优先队列解法思路直观,适用于各种矩阵情况,但时间复杂度相对较高,特别是当矩阵规模较大时。 - 二分查找解法利用了矩阵有序的特性,时间复杂度较低,在处理大规模矩阵时效率更高。
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