「HAOI2010」最长公共子序列-DP

最新推荐文章于 2023-06-04 20:04:27 发布

DSL_HN_2002

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分类专栏：算法——DP source——各省省选文章类型——题解

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本文介绍了一种解决最长公共子序列问题的有效算法，包括如何计算最长公共子序列的长度及其实现方法，并提供了详细的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Decription

给定两个字符串，求他们最长的公共子序列长度，以及最长公共子序列个数。

$n \leq 5000$

Solution

最长公共序列直接 $O(n^2)$ DP即可。重点是如何求出最长公共子序列个数。

设 $f_{i,j}$ 表示第一个串匹配到 $i$ ,第二个串匹配到 $j$ 的最长公共子序列长度。 $g_{i,j}$ 则表示最长公共子序列个数。

考虑 $f_{i,j}$ 的转移 $f_{i,j}=max(f_{i-1,j},f_{i,j-1},(f_{i-1,j-1}+1)\times[s_i=t_j])$

那么 $g_{i,j}$ 则加上 $f_{i,j}$ 转移的来源的 $g$ 即可。

但是有一个特殊情况：

$f_{i-1,j-1}=f_{i,j}$ 时， $g_{i-1,j}$ 与 $g_{i,j-1}$ 重复转移了 $g_{i,j}$ 因此要减去。

推荐FlashHu的题解，还有图示。

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 5005, mod = 100000000;

int n, m, f[2][maxn], g[2][maxn];
char s[maxn], t[maxn];

void inc(int &a, int b)
{
    a += b;
    if (a >= mod) a -= mod;
}

void dec(int &a, int b)
{
    a -= b;
    if (a < 0) a += mod;
}

int main()
{
    scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1) - 1;
    scanf("%s", t + 1); m = strlen(t + 1) - 1;

    fill(g[0], g[0] + m + 1, 1);
    for (int k = 1; k <= n; ++k) {
        int i = k & 1;
        g[i ^ 1][0] = g[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            f[i][j] = max(f[i ^ 1][j], f[i][j - 1]);
            if (s[k] == t[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i ^ 1][j - 1] + 1);
        }
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            g[i][j] = 0;
            if (f[i][j] == f[i ^ 1][j]) inc(g[i][j], g[i ^ 1][j]);
            if (f[i][j] == f[i][j - 1]) inc(g[i][j], g[i][j - 1]);
            if (f[i][j] == f[i ^ 1][j - 1])
                dec(g[i][j], g[i ^ 1][j - 1]);
            if (f[i][j] == f[i ^ 1][j - 1] + 1 && s[k] == t[j])
                inc(g[i][j], g[i ^ 1][j - 1]);
        }
    }

    printf("%d\n%d\n", f[n & 1][m], g[n & 1][m]);

    return 0;
}