「BZOJ5093」图的价值-NTT+第二类斯特林数

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组合数学——斯特林数

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本文介绍了一种计算所有n个点带标号的简单无向图的价值之和的方法，采用组合数学和斯特林数等技巧进行优化计算。

Description

“简单无向图”是指无重边、无自环的无向图（不一定连通）。

一个带标号的图的价值定义为每个点度数的 $k$ 次方的和。

给定 $n$ 和 $k$ ，请计算所有 $n$ 个点的带标号的简单无向图的价值之和。

因为答案很大，请对 $998244353$ 取模输出。

Solution

对于每个点分别考虑贡献：

n \times 2 n ( n - 1 ) 2 - (n - 1) \sum i = 0 n - 1 i k C (n - 1, i)

$n\times2^{\frac{n(n-1)}{2}-(n-1)}\sum_{i=0}^{n-1}i^kC(n-1,i)$

考虑第二类斯特林数有这样一个性质

i k = \sum j = 0 i s (k, j) j! C (i, j)

$i^k=\sum_{j=0}^is(k,j)j!C(i,j)$

所以原式化为

\sum i = 0 n - 1 \sum j = 0 i s (k, j) j! C (i, j) C (n - 1, i)

$\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^is(k,j)j!C(i,j)C(n-1,i)$

枚举 $j$

\sum_{j = 0}^{n - 1} s (k, j) j! \sum_{i = 0}^{n - 1} C (i, j) C (n - 1, i)

$\sum_{j=0}^{n-1}s(k,j)j!\sum_{i=0}^{n-1}C(i,j)C(n-1,i)$

考虑 $\sum_{i=0}^{n-1}C(i,j)C(n-1,i)=C(n-1,j)\sum_{i=j}^{n-1}C(n-1,i-j)=2^{n-1-j}C(n-1,j)$

所以原式化为

\sum j = 0 n - 1 s (k, j) j! 2 n - 1 - j C (n - 1, j)

$\sum_{j=0}^{n-1}s(k,j)j!2^{n-1-j}C(n-1,j)$

当 $j$ 很大时， $s(k,j)$ 为 $0$ ,所以只需要枚举到 $min(k,n-1)$ 即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long lint;
const int mod = 998244353;
const int G = 3, Phi = mod - 1;
const int maxn = 530005;

int n, m, k;
int fac[maxn], ifac[maxn];
int L, R[maxn], A[maxn], B[maxn];

int Pow(int x, lint k)
{
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (lint)res * x % mod;
        x = (lint)x * x % mod; k >>= 1;
    }
    return res;
}

void NTT(int *a, int f)
{
    for (int i = 0; i < m; ++i)
        if (i < R[i]) swap(a[i], a[R[i]]);
    for (int i = 1; i < m; i <<= 1) {
        int wn = Pow(G, Phi / (i << 1)), t;
        if (f == -1) wn = Pow(wn, mod - 2);
        for (int j = 0; j < m; j += (i << 1)) {
            int w = 1;
            for (int k = 0; k < i; ++k, w = (lint)w * wn % mod) {
                t = (lint)a[j + i + k] * w % mod;
                a[j + i + k] = a[j + k] - t;
                if (a[j + i + k] < 0) a[j + i + k] += mod;
                a[j + k] = a[j + k] + t;
                if (a[j + k] >= mod) a[j + k] -= mod;
            }
        }
    }
}

void NTT(int *A, int *B)
{
    int i;
    for (i = m << 1, m = 1; m <= i; m <<= 1) ++L;
    for (int i = 0; i < m; ++i) R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
    NTT(A, 1); NTT(B, 1);
    for (int i = 0; i < m; ++i) A[i] = (lint) A[i] * B[i] % mod;
    NTT(A, -1);
    int inv = Pow(m, mod - 2);
    m = i >> 1;
    for (int i = 0; i <= m; ++i) A[i] = (lint)A[i] * inv % mod;
}

int main()
{
    freopen("graph.in", "r", stdin);
    freopen("graph.out", "w", stdout);

    scanf("%d%d", &n, &k); m = min(n - 1, k);

    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) fac[i] = (lint)fac[i - 1] * i % mod;
    ifac[m] = Pow(fac[m], mod - 2); 
    for (int i = m - 1; i >= 0; --i) ifac[i] = (lint)ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;

    for (int i = 0; i <= m; ++i) {
        A[i] = i & 1 ? mod - ifac[i] : ifac[i];
        B[i] = (lint)Pow(i, k) * ifac[i] % mod;
    }

    NTT(A, B);

    int ans = 0, Inv = (mod + 1) / 2;
    for (int i = 0, sum = Pow(2, n - 1); i <= m; ++i) {
        ans += (lint)sum * A[i] % mod;
        if (ans >= mod) ans -= mod;
        sum = (lint)sum * Inv % mod * (n - 1 - i) % mod;
    }

    printf("%d\n", (lint)ans * n % mod * Pow(2, (lint)n * (n - 1) / 2 - n + 1) % mod);

    return 0;
}