Dijkstra算法求解单源最短路径问题

一 前言

  上一次的文章更新还是在5月份，现在都快8月份了，整整三个月没有记录学习的点点滴滴。哎，主要是现在自己面临读研的一系列事情，到现在面试结果也没有出来，如果没中，那真的要给老师，给招生办跪下了，呜~~~~~~, 小菜鸡在大佬面前瑟瑟发抖，给我一个读书的机会吧！！！
   本次记录的是最短路径算法中的单源最短路经Dijkstra算法，也就是确定图中某一个点，求出图中其他所有点到该点的最短距离分别是多少。

二 Dijkstra 算法讲解

1. 贪心算法的证明

Dijkstra算法的基本思想是贪心思想，关于贪心算法求解问题时，我们需要进行证明两点：

1. 最优子结构
2. 局部最优性（局部最优解可以得到全局最优解）
   关于算法的证明，小编就不多说了，这里直接分享一篇博客：迪杰斯特拉（Dijkstra)算法最通俗易懂的讲解 ，大家要是觉得解释的不是很好，最好还是去算法书上看看 。

2. 算法实现说明

在实现过程中，重要的就是我们引入了两个数组：dis数组和vis数组
dis数组：用来记录每个点到原点的最短路经。
vis数组：用来标记，某个点是否已经扩展过。
我们要做的就是在所有未扩展的点中，选出一个dis值最小的点进行松弛操作，这样n - 1次操作之后，即可知道原点到所有其他点的最短距离。

算法核心操作：
  现在假设我们已知结点A到源点S的最短距离为X，也存在从结点A指向结点B的有向边，该边的权值为val，显然结点B到原点会有一个距离，我们假设为Y，若X + val < Y，换句话说就是，我们现在找到了源点S到结点B的更短的一个路径，此时我们更新dis数组中到结点B到源点的距离值。

现在我们模拟一遍算法的执行流程

1. 首先初始化dis数组和vis数组，dis数组中源点的值为0，剩余点的dis值为极大值；vis数组中均为0 ，其中0表示没有扩展，1表示该点已被扩展。
2. 遍历dis数组，找到值最小，且没有扩展(vis值为0)的点，此时为1号结点。观察图可知，1号结点可以到达2, 3号结点，所以计算可知，结点2到源点的距离为6 + 0 = 6 < dis[2]，结点3到源点的距离为0 + 1 = 1 < dis[3], 所以2, 3号结点均可以被更新。至此1号结点已经被扩展，标记vis[1] = 1;
   
3. 遍历dis数组，找到值最小，且没有扩展(vis值为0)的点，此时为3号结点。观察图可知，3号结点可以到达2，4，6号结点，计算可知：2号结点到源点的距离为3 + dis[3] = 3 + 1 = 4（连接3号结点和2号结点的边的权值为3，3号结点到源点的最小距离为1）这个新的距离比原来2号结点到源点的距离6要小，所以我们需要进行距离的更新。同理，我们更新4和6号结点的距离。
   
4. 按照之前的规则，我们相似操作，最终，我们可以得到如下的结果
   

3. 初版Dijkstra算法代码

我们以洛谷第3371题为例子：P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）
解题代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

#define MAX_N 10000
#define MAX_M 500000
#define INF 0x3f3f3f3f

struct edge {
   
   
    int to, val, next;
} edg[MAX_M + 5];

int head[MAX_N + 5], vis[MAX_N + 5], dis[MAX_N + 5];
int edg_cnt;

// 此处采用链式前向星存储有向图
void add_edge(int a, int b, int c) {
   
   
    edg[edg_cnt].to = b;
    edg[edg_cnt].val = c;
    edg[edg_cnt].next = head[a];
    head[a] = edg_cnt++;