Longest Ordered Subsequence 【poj-2533】【动态规划-最长上升子序列】

最新推荐文章于 2023-03-17 01:34:36 发布

DNMTOOBA

最新推荐文章于 2023-03-17 01:34:36 发布

阅读量452

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： # 动态规划文章标签： POJ 动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/DNMTOOBA/article/details/76998549

动态规划专栏收录该内容

9 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种寻找序列中最长上升子序列长度的方法，并提供了两种算法实现：一种时间复杂度为O(n^2)，另一种为O(n*logn)。通过实例展示了如何使用这两种算法解决问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Longest Ordered Subsequence

Time Limit: 2000MS		Memory Limit: 65536K
Total Submissions: 54233		Accepted: 24254

Description

A numeric sequence of a_i is ordered if a₁ < a₂ < ... < a_N. Let the subsequence of the given numeric sequence (a₁, a₂, ..., a_N) be any sequence (a_i₁, a_i₂, ..., a_{i_K}), where 1 <= i₁ < i₂ < ... < i_K <= N. For example, sequence (1, 7, 3, 5, 9, 4, 8) has ordered subsequences, e. g., (1, 7), (3, 4, 8) and many others. All longest ordered subsequences are of length 4, e. g., (1, 3, 5, 8).

Your program, when given the numeric sequence, must find the length of its longest ordered subsequence.

Input

The first line of input file contains the length of sequence N. The second line contains the elements of sequence - N integers in the range from 0 to 10000 each, separated by spaces. 1 <= N <= 1000

Output

Output file must contain a single integer - the length of the longest ordered subsequence of the given sequence.

Sample Input

7
1 7 3 5 9 4 8

Sample Output

题意：求最长上升子序列的长度；

题解：两种算法：O( n ^ 2 ) 和 O( n * log n );

代码如下：

（1） O( n ^ 2 )

定义dp[ i ]: 以a[ i ]为结尾的最长上升子序列的长度。

那么以a[ i ]为结尾的上升子序列是以下其中之一

①只包含a[ i ]的子序列（a[ i ]比前面的任何数都小，所以重新立一个序列）

②在满足 j < i 并且a[ j ] < a[ i ] 的以a[ j ] 为结尾的上升子序列末尾，再加上a[ i ]后得到的子序列

递推关系为： dp[ i ] = max { 1 , dp[ j ] + 1( 当 j < i 且a[ j ] < a[ i ] 时)}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int main()
{
	int n;
	while(~scanf("%d",&n)){
		for(int i=0;i<n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		int ans=0;
		for(int i=0;i<n;i++){
			dp[i]=1;
			for(int j=0;j<i;j++){
				if(a[j]<a[i])
					dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
			}
			ans=max(ans,dp[i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
		
	}
	
	return 0;
}

（2） O( n * log n )

定义 dp[ i ]: 长度为 i + 1 的上升子序列中末尾元素的最小值

首先将 dp 数组初始化为 INF ，然后对 a数列中的元素逐个遍历；对于每个a[ i ] 的值，遍历所有 dp 直到找到一个dp[ j ]的值大于等于 a[ i ]然后用a[ i ]赋值给 dp[ j ];

最后记录 dp数组中不为 INF的值的数量即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1005;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int main()
{
	int n;
	while(~scanf("%d",&n)){
		for(int i=0;i<n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=0;i<n;i++)
			dp[i]=INF;
		int num=0;
		for(int i=0;i<n;i++){
			int pos=lower_bound(dp,dp+n,a[i])-dp;
			dp[pos]=a[i];
		}
		for(int i=0;i<n;i++){
			if(dp[i]!=INF) num++;
			else break;
		}
		printf("%d\n",num);
		
	}
	
	return 0;
}