<think>好的，我现在得仔细看看这个问题。题目是说，给定一个长度为N的数组A，以及正整数K，我们需要计算所有子数组的和的K次方的总和，然后对998244353取模。那问题规模的话，N是2e5，K最多是10，所以直接暴力枚举所有子数组的话肯定不行，时间复杂度会爆炸。那得找数学上的方法，或者组合展开，然后用前缀和之类的优化。
首先，举个例子，比如样例1中的情况，N=3，K=2，数组是3、1、2。那么所有子数组的和的平方相加得到75。这时候每个子数组的和计算平方，展开的话可能涉及到各个元素的乘积。比如，(a + b + c)^2等于a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc。所以当K=2时，总和可以拆分成各个元素乘积的组合，然后统计每个组合出现的次数。
那对于一般的K次方，可以利用多项式展开。比如，对于某个子数组的和S，S^K可以展开为多个项的累加，这些项是A_i的各个组合的乘积，次数总和为K。例如，当K=2时，每个项对应两个元素的乘积，所以总共有C(K, ...)这样的组合。比如，对于K=3，每个项是三个元素的乘积，可能来自不同的位置。
那么问题转化为：对于所有可能的K元组的位置（i1, i2, ..., iK），计算这些位置对应的元素的乘积，然后乘以它们在多少个子数组中同时被包含。然后把这些结果相加，就是最终的答案。
比如，假设有一个K元组的位置i1, i2,...,ik，那么这些位置必须全部在某个子数组的区间[l, r]内。也就是说，l <= min(i1, ..., ik)，且 r >= max(i1, ..., ik)。那么这样的子数组的数目等于左边可以选的范围乘以右边可以选的范围。比如，左边有min_pos种选择（从1到min_pos），右边有n - max_pos + 1种选择。因此，每个K元组的贡献是A[i1] * A[i2] * ... * A[ik] * left * right，其中left是min_pos的选择方式数目，right是max_pos的选择方式数目。
所以，问题转化为如何枚举所有可能的K元组，并计算它们的贡献总和。这似乎可行，但K可以达到10，而N是2e5，所以直接枚举所有可能的K元组是不可能的，因为这样的组合数是O(N^K)，当N是2e5，K是10的时候，这根本无法处理。
那需要找到一种更高效的方法。比如，利用动态规划或者组合数学中的生成函数，或者数学变换，将问题转化为可以分项处理的情况。
比如，当K=2时，总贡献等于所有i<=j的A[i]A[j]乘以包含i和j的子数组数目。而这个数目等于i左边可以选的起点数目乘以j右边可以选的终点数目。例如，起点可以选在1到i的位置，终点可以选在j到n的位置。所以数目是i * (n - j +1)。因此，总和是sum_{i=1到n} sum_{j=i到n} A[i]A[j] * i*(n-j+1)。
那当K=2的时候，这似乎可以拆分为每个i<=j的乘积，然后乘以其对应的数目。这时候计算的总复杂度是O(n^2)，但当n是2e5时，这显然还是无法处理的。所以需要更高效的方法。
这时候可能需要想到，当K较小时（比如最大是10），可以利用多项式的展开，将问题转换为计算所有可能的K个元素的积的贡献总和，其中每个元素的贡献是它们的坐标的左右范围的乘积。例如，对于每个可能的K元组中的元素，我们需要找到它们的min和max，然后计算对应的左右范围。这似乎很难，但或许可以找到一些数学规律或组合方式，使得能够按顺序统计这些贡献。
另一个思路是，考虑S是所有可能的子数组的和。那么S^K可以展开为多项式的形式，其中每个项是A_{i1}*A_{i2}*...*A_ik}，其中i1<=i2<=...<=ik（或者原题中的顺序可能不要求顺序，但可能要考虑每个项的顺序？比如，当展开时，可能有不同的顺序，但实际乘积中的元素顺序可能不影响，因为乘法交换律）。这个时候，每个项出现的次数等于它在多少个子数组中同时包含所有这些i1, i2,...,ik的位置。也就是说，子数组必须包含所有这些位置中的最小到最大的范围。例如，假设这些位置的最小是L，最大是R，那么子数组的左端点必须<=L，右端点>=R。这样的子数组数目为L*(n-R+1)。这可能对吗？
比如，假设我们有三个位置i,j,k，其中i <= j <=k。那么，包含这三个位置的子数组必须满足左端点<=i，右端点>=k。这样的子数组数目是i*(n -k +1)。所以，不管中间的位置如何，只要左端点选在[1,i]，右端点选在[k, n]，那么这个子数组必然包含所有i,j,k的位置。那么对于这三个位置的乘积A_i*A_j*A_k，它们在所有这样的子数组的和的K次方中被统计的次数是i*(n -k+1)。
但是，当K=3的时候，每个三元组的贡献是A_i*A_j*A_k * i*(n -k+1)。这个时候，我们需要计算所有可能的i<=j<=k的三元组的贡献总和吗？或者是否要考虑不同的排列顺序？
例如，假设原式子中的S是某个子数组的和，那么S^3中会出现三次项，比如A_i*A_j*A_k，其中i、j、k可能有不同的顺序，但乘积是相同的。例如，如果i < j < k，那么在S中包含这三个元素的所有子数组都会在S^3中出现这个乘积的项。此时，对于每个这样的三元组的贡献，应该乘以对应的组合数吗？
这个时候可能需要数学上的仔细推导。例如，当展开S^K时，其中S是某个子数组的和，那么S^K的展开式中的各项是多重集合的组合。例如，对于K次方，每个项是选择K个元素（可能有重复）的乘积，所以对应的系数是多项式展开中的组合数。例如，当K=3时，对于三个不同的元素i,j,k，他们的乘积会出现的次数是6（即3!）吗？或者是否等于1？这可能需要具体展开来看。
比如，假设S = a + b + c，那么S^3的展开式中，项a*b*c的系数是6。因为展开式中的每一项是三个因子的乘积，每个因子可以是S中的任一元素。所以，当三个不同的元素被选中的时候，会有3!种排列方式，所以系数是6。
但是，在这个问题中，每个子数组的和的K次方的总和，等于所有可能的子数组的S^K之和。而每个S^K展开后的项的系数可能不同，这会影响最终的统计方式。所以，正确的做法可能需要将每个K次方的展开式中的各项的系数考虑进去。
例如，当计算总答案时，对于每个可能的K个元素的乘积（允许重复），比如选择同一个元素多次，或者不同的元素，那么它们的总贡献等于该乘积的项在所有子数组中出现次数乘以该乘积的系数，最后将这些相加。
但这样的话，处理起来似乎非常复杂，尤其是当K较大时，需要考虑各种重复的情况。
因此，可能需要寻找一种数学上的方法，将总答案表示为各个元素的贡献的组合，其中每个组合对应K个元素的位置，并且包含它们的子数组数目乘以对应的组合数。
这个时候，或许可以借助组合数学中的生成函数，或者利用动态规划的方法来预处理每个位置的贡献。
或者，参考一些类似的问题，比如当K=1时，总答案就是所有子数组的和的总和。这时候可以用前缀和快速计算。例如，每个元素A_i的贡献是A_i乘以i*(n-i+1)。因为每个子数组包含A_i当且仅当左端点<=i，右端点>=i。所以，这样的子数组数目是i*(n -i +1)。因此，总答案是sum(A_i * i*(n -i +1))。
但K=1的情况比较简单。当K更大的时候，可能需要更复杂的处理。
对于K=2的情况，总答案等于所有子数组的和的平方的总和。展开这个平方的话，总答案等于所有子数组的（sum A_i）^2的总和，等于所有子数组中的A_i*A_j的总和，其中i和j是子数组中的元素。因此，总答案等于sum_{所有子数组} sum_{i <= j在该子数组中} 2*A_i*A_j（当i !=j时）？或者是不是？或者，原式中的平方展开后的项是A_i*A_j的总和，其中i和j可以是任何两个元素在子数组中，包括i=j的情况。因此，对于每个子数组来说，其平方的和等于sum_{i在子数组中} A_i^2 + 2*sum_{i < j在子数组中} A_i*A_j。因此，总答案等于所有子数组的这两种情况的总和。
于是，对于每个i <=j，我们需要计算有多少个子数组同时包含i和j，然后乘以A_i*A_j。对于i=j的情况，贡献是A_i^2乘以包含i的子数组数目。对于i<j的情况，贡献是2*A_i*A_j乘以同时包含i和j的子数组数目。
但这样的计算方式，当K=2时，时间复杂度是O(n^2)，这在n=2e5时显然无法处理。这说明必须找到一个更高效的方法。
这时候，我们需要寻找一种数学上的方式，将问题转换为可以分项处理，或者利用前缀和或者组合数学公式，使得时间复杂度可以控制在O(nK)或者类似的可接受范围。
回到问题，当K比较小的时候，比如最多是10，这可能是一个提示，说明可以使用多项式展开的方法，并且对于每个可能的K个元素的组合，计算它们的贡献。这可能需要预处理每个位置作为某个维度时的系数，或者利用动态规划的方式。
例如，考虑所有可能的K个元素的索引i1, i2, ..., ik（可能重复，或者可能不重复），然后统计这些元素在多少个不同的子数组中同时出现，并且乘以其组合数。然后，将所有这些情况的贡献相加。
但这里的难点在于如何高效地计算这些情况的贡献。当K=10时，枚举所有可能的K元组显然不可能，所以需要找到一种数学方法，将这些贡献拆分成各个元素的独立贡献，或者利用组合数学中的某些性质。
例如，可能可以用线性代数中的多项式的展开式，将总答案表示为各个元素的贡献的乘积或组合。比如，总答案可以表示为各个元素的生成函数的K次方的系数，然后统计这些系数对应的项的总和。
或者，考虑将问题转化为求每个可能的K个元素的位置的组合的贡献的总和，其中每个组合的贡献等于这些元素的乘积乘以包含所有这些元素的子数组数目。这里的包含条件是指子数组必须覆盖这些元素的最小到最大索引的范围。例如，对于一组元素的位置集合，它们的左端点必须小于等于最左边的元素，右端点必须大于等于最右边的元素。因此，这样的子数组数目等于左边端点的选择数目乘以右边端点的选择数目，即left = min_pos，右边端点的数目是 (n - max_pos +1)。所以，每个这样的组合的贡献是A[i1]*A[i2]*...*A[ik] * min_pos * (n - max_pos +1)。
但是，这里有一个问题：当展开多项式的时候，比如S^K，其中S是一个子数组的和，那么其中的每个项对应的是K个元素的乘积，不管这些元素的顺序如何，但可能重复选择同一个元素多次。例如，当K=3时，可能选择i, i, j这三个元素，那么对应的项是A_i^2*A_j。这时候，这样的项的系数是组合数中的对应值。例如，对于这种情况，系数是3（假设在展开式中有三个不同的方式得到这个乘积）？
这说明，当K较大的时候，如何处理重复元素的组合变得非常复杂。因此，这可能意味着，对于每个可能的K元组，不管元素是否重复，都需要计算它们的贡献，并乘以其对应的系数。但这样计算的总时间复杂度对于K=10来说是无法接受的，因为需要枚举所有的可能K元组，这数目是O(n^K)，当n是2e5时，这显然不可行。
因此，必须寻找另一种方法，能够将问题分解成可以按每个元素独立计算的部分，或者利用动态规划预处理某些信息。
这时候，可能需要想到，对于每个位置i，我们可以计算它在各个可能的展开项中的贡献。例如，当展开式中的项是k个元素的乘积，那么每个元素可能被选中多次。例如，对于某个项是A_i^m，其中m<=K，那么我们需要统计所有可能的m次选中i，并与其它元素的组合中的情况相乘。
或者，这可能涉及到生成函数的应用。例如，每个元素的生成函数是1 + A_i x，或者类似的形式，然后将所有生成函数的K次方相乘，提取某个系数。但不确定这是否适用。
或者，考虑每个元素的贡献是它的出现次数在不同的K次项中的总和。例如，每个元素A_i在某个子数组的和的K次方中出现的次数等于它在K次乘积中的各种可能组合的次数，然后这些次数总和乘以该子数组的数目。
这似乎非常模糊，可能需要更具体的数学分析。
回到原问题，题目给出的约束条件中的K<=10，这可能意味着我们可以利用动态规划的方法，逐次计算各个幂次的贡献。例如，我们可以维护一个数组dp[k]，其中dp[k]表示当前处理到某个位置时，所有可能的k个元素的组合的贡献总和。
例如，假设我们逐个处理数组中的元素，对于每个元素A[i]，我们考虑它如何影响各个k的贡献。例如，当处理到第i个元素时，对于每个k从K到1，我们可以更新dp[k] += dp[k-1] * A[i]，同时考虑当前元素作为新的元素加入的情况。这可能类似于计算所有子数组的K次方和的动态规划方法。
例如，当k=1时，dp[1]就是所有子数组的和的总和，这可以通过每个元素i的贡献是A[i] * i*(n-i+1)来得到。这可能与之前的K=1的情况类似。但是对于k=2的情况，可能需要更复杂的处理。
这种方法是否可行？比如，动态规划的状态转移可能允许我们在O(NK)的时间内处理所有可能的幂次。
例如，考虑每个子数组以i结尾的情况，然后维护每个k的当前累计值。比如，对于每个位置i，我们维护一个数组dp[k]，表示以i结尾的所有子数组的k次方的总和。那么，当处理i+1时，新的子数组可以是原来的每个子数组加上A[i+1]，或者单独的一个子数组[A[i+1]]。那么，我们可以根据二项式定理来展开每个新的k次方的总和。
例如，假设当前以i结尾的所有子数组的k次方的总和是dp_prev[k]。那么，当新增元素A[i+1]时，新的子数组包括原来的每个子数组加上A[i+1]，以及新的子数组[A[i+1]]。对于原来的子数组加上A[i+1]，它们的k次方可以展开为Σ_{m=0}^k C(k, m) (sum)^m * A^{k-m}。其中，sum是原来的子数组的和。这可能比较复杂，但或许可以找到递推的方式。
例如，对于每个新的子数组的和S_new = S_old + A[i+1]，那么S_new^k = Σ_{m=0}^k C(k, m) S_old^m * A^{k-m}。所以，以i+1结尾的所有子数组的k次方的总和等于Σ_{m=0}^k C(k, m) * (sum_{以i结尾的子数组的m次方总和}) * A^{k-m} + A^{k}（对应新的子数组[A[i+1]]的情况）。
这看起来可能可以递推处理。比如，我们维护一个数组current，其中current[k]表示以当前i结尾的子数组的k次方的总和。当处理i+1时，我们计算新的current_new[k] = A^{k} + Σ_{m=0}^k C(k, m)*current[m] * A^{k-m}。这样，每个步骤的时间复杂度是O(K^2)，而总时间复杂度是O(N*K^2)，这在K=10的情况下，总次数是2e5 * 100=2e7，应该是可以接受的。
这种方法是否正确？比如，对于每个新加入的元素，它扩展了所有以i结尾的子数组，形成新的以i+1结尾的子数组（长度增加1），以及新的子数组自己。那么，动态规划的方法可能能够累计每个k次方的总和。
例如，对于k=2，假设之前以i结尾的子数组的平方和总和是sum_prev。那么，当添加A[i+1]时，每个这样的子数组的和变为S + A[i+1]，其平方等于S² + 2SA[i+1] + A[i+1]^2。所以，新的平方和总和等于原来的sum_prev + 2A[i+1] * sum_prev_s + (当前子数组数目)*A[i+1]^2，其中sum_prev_s是原来的子数组的线性和总和（即k=1的情况）。
这似乎表明，如果我们维护每个k的当前总和，那么可以按这样的方式递推。对于每个新元素，我们需要计算各个k次方的总和，这需要用到更小的k的值。
所以，这样的动态规划方法可能可行。那么，具体来说，可以维护一个数组dp，其中dp[k]表示以当前元素结尾的所有子数组的和的k次方的总和。同时，我们还需要维护一个总答案数组，将所有位置的dp[k]累加起来，得到最终的答案。
例如，初始化总答案为0。对于每个元素i，我们计算新的dp数组，然后将各个dp[k]加到总答案中。
具体来说，假设当前处理的是元素A[i]。那么，以i结尾的子数组共有i个（比如，从位置1到i，或者从j到i，其中j<=i）。但是，动态规划的方法中，每个新的子数组是之前的子数组加上当前元素，或者当前元素自己。所以，每个步骤中，以当前元素结尾的子数组数目等于上一个元素结尾的子数组数目加1（比如，当i=0时数目为0，i=1时数目为1，i=2时数目为2，等等）。
那么，动态规划的状态转移方程可能类似于：
对于每个新的元素A，我们计算新的dp[k] = A^k + sum_{m=0}^{k-1} C(k, m) * prev_dp[m] * A^{k-m}
其中，prev_dp是前一个状态的dp数组（即上一个元素结尾的子数组的各次方的总和）。
例如，当k=0时，任何数的0次方都是1，所以以当前元素结尾的子数组的0次方的总和等于1（只有空子数组吗？或者可能我的理解有误）。或者，可能k的取值范围是1到K。这可能需要注意。
或者，可能这个动态规划的方式应该考虑k从0到K的情况，其中k=0对应的是和的0次方，即1。这可能有助于递推公式的正确性。
例如，当处理一个元素A，对于每个k，新的dp_new[k]等于所有可能的组合，其中当前的子数组的和的k次方由之前的子数组的和加上A后的k次方展开而来，加上单独的A^k的情况。
所以，初始情况下，当没有处理任何元素时，每个dp[k]都是0。处理第一个元素A1时，新的子数组只有一个，即[A1]。所以，对于k=1，dp[1] = A1^1。对于k=2，dp[2] = A1^2，等等。当处理第二个元素A2时，新的子数组是[A2]和[A1, A2]。它们的和的平方分别是A2^2和(A1 + A2)^2。所以，这两个的平方和为A2^2 + (A1^2 + 2A1A2 + A2^2) = A1^2 + 2A1A2 + 2A2^2。根据动态规划的方式，此时的dp_prev数组在处理第一个元素后是各个k的值。当处理第二个元素时，新的dp[2]等于A2^2（单独的子数组）加上sum_{m=0}^2 C(2, m)*prev_dp[m] *A2^{2 -m}。例如，当m=0时，C(2,0)*prev_dp[0]*A2^2。但prev_dp[0]可能初始为1？或者可能初始化问题需要考虑。
这可能表明，在动态规划的状态转移中，必须维护k从0到K的所有情况，其中k=0对应的是和的0次方，即每个子数组的和的0次方是1。所以，每个子数组的0次方的总和等于该子数组的数目。这可能成为递推中的一部分。
例如，假设初始时prev_dp数组为全0，除了prev_dp[0] = 1，因为当没有元素时，存在一个空子数组，其和的0次方是1。但这样处理可能更复杂。或者，可能每个元素处理时，初始的prev_dp[0]是1，对应空的情况？
这可能需要更仔细的数学分析。
例如，当处理第i个元素时，以i结尾的子数组共有i个吗？或者，每个步骤中的子数组数目等于当前元素的位置？或者，这可能取决于动态规划的定义方式。例如，假设在处理元素i时，我们维护的dp[k]表示所有以i结尾的子数组的和的k次方的总和。那么，每个元素i对应的子数组数目等于i的长度，即从位置1到i，或者从位置j到i（j从1到i）。
但是，动态规划的方法可能更高效，因为每次处理新元素时，只需要考虑将新元素添加到前一个元素的子数组中，或者单独形成新的子数组。
例如，假设处理到元素i，那么以i结尾的子数组包括：
- 单独的元素i，即长度1的子数组。
- 元素i-1和i组成的子数组。
- ...
- 元素1到i组成的子数组。
那么，对于每个子数组来说，其和等于前一个子数组的和（例如，从j到i-1的和）加上A[i]。所以，可以利用这个性质，在动态规划中维护各个幂次的总和。
例如，对于每个元素i，假设我们维护dp[k]表示以i结尾的所有子数组的和的k次方的总和。那么，当处理元素i+1时，每个以i+1结尾的子数组的和可以表示为以j到i的和加上A[i+1]，其中j可以是i+1自己（单独的子数组），或者j可以是1到i的任意位置。这可能很难处理，因为对于每个可能的子数组都要维护不同的和。但是，动态规划的方法中，只需要维护所有可能的k次方的总和，而不是每个子数组的具体和。
所以，这可能类似于在线处理，每个步骤中，我们利用前一步骤的dp数组来计算新的dp数组。例如，对于每个k，新的dp_new[k]等于A[i+1]^k（对应单独的子数组）加上 sum_{m=0}^k C(k, m) * dp_prev[m] * A[i+1]^{k -m}。这里的sum_m是从0到k的组合数，利用了二项式展开式。
例如，当k=2时，新的dp[2] = (A[i+1])^2 + sum_{m=0}^2 C(2, m) * dp_prev[m] * A[i+1]^{2 -m}。
其中，当m=0时，C(2,0)是1，dp_prev[0]是前一步骤中的以i结尾的所有子数组的和的0次方的总和。而和的0次方是1，所以dp_prev[0]等于以i结尾的子数组数目。例如，假设前一步骤处理的是i，那么以i结尾的子数组数目是i。这可能对吗？
这似乎有些矛盾，因为每个子数组的和的0次方的总和等于子数组数目。所以，dp_prev[0]等于以i结尾的子数组数目。对于i来说，以i结尾的子数组数目是i个吗？或者，是i个吗？比如，当i=3时，以3结尾的子数组数目是3（比如 [3], [2,3], [1,2,3]）？哦，不是，原题中的数组索引可能从1到n，所以以i结尾的子数组数目是i个，比如，每个j从1到i，子数组j..i。所以数目是i。因此，在动态规划的过程中，dp_prev[0]等于i。因为每个子数组的0次方的总和等于子数组数目，而每个以i结尾的子数组数目是i个。所以，这可能意味着，在动态规划的过程中，dp_prev[0]的值等于当前处理到i时，以i结尾的子数组数目，即i。这可能对吗？
或者，初始时，dp_prev[0]等于1，因为当没有元素时，存在一个空子数组，其和的0次方是1。当处理第一个元素时，以第一个元素结尾的子数组数目是1，所以dp_prev[0]等于1？
这可能需要重新考虑动态规划的初始条件。
假设我们有一个数组dp，其中dp[k]表示以当前元素结尾的所有子数组的和的k次方的总和。初始时，没有处理任何元素，所以没有以任何元素结尾的子数组。当处理第一个元素A1时，以A1结尾的子数组数目是1（即[A1]）。所以，此时，dp_prev[0]应该等于1，因为该子数组的和的0次方是1。那么，对于k=0，每个步骤中的dp[k]等于该步骤中的子数组数目。例如，处理完第一个元素后，dp_prev[0] =1，处理完第二个元素后，以第二个元素结尾的子数组数目是2，所以dp_new[0] = 2，等等。这可能正确。
因此，动态规划的状态转移中，dp[0]始终等于当前处理到i时，以i结尾的子数组数目。例如，处理到i时，i的数目是i个？或者，处理到第m个元素时，以该元素结尾的子数组数目是m个？比如，当处理第3个元素时，以它结尾的子数组数目是3个？是的。因此，在动态规划的过程中，对于每个元素i（数组中的第i个元素），处理时，该元素的位置是i，所以以i结尾的子数组数目是i个。这样，dp_prev[0]等于i。
这可能成立，所以当处理第i+1个元素时，新的dp_new[0]等于i+1，即当前子数组数目等于前一个数目（i）加上1？或者，可能更简单的方式是，dp_new[0]等于前一个dp_prev[0] +1。因为每次处理一个新元素，新的子数组数目等于前一个数目加1。例如，处理第一个元素时数目是1，处理第二个时数目是2，第三个数目是3，等等。这可能对吗？例如，以i结尾的子数组数目等于i。所以，当处理到第i个元素时，数目是i。因此，dp_prev[0]等于i。那么，当处理第i+1个元素时，数目是i+1。所以，这可以通过dp_new[0] = dp_prev[0] +1 来实现？
是的。因为以i+1结尾的子数组数目等于以i结尾的子数组数目（每个子数组扩展一个元素）加上新的单独的子数组[i+1]。所以数目增加1。因此，dp_new[0] = dp_prev[0] +1。这应该成立。
所以，在动态规划的过程中，我们维护的dp[0]实际上等于当前处理到i时，以i结尾的子数组数目，即i。例如，处理到第i个元素时，dp_prev[0]等于i。
这可能对后续的计算有帮助，因为当计算更高次方的转移时，可以利用dp_prev[0]的值。
综上，动态规划的转移方程可以写成：
对于每个新元素A，新的dp_new[k] = A^k + sum_{m=0}^k C(k, m) * dp_prev[m] * A^{k -m}
其中，C(k, m)是组合数，也就是从k个位置中选m个的方式数。A^{k -m}是当前元素的(k -m)次方。
然后，总答案是所有dp_new[k]的总和，累加到全局的答案中。例如，在处理每个元素i时，计算以i结尾的所有子数组的k次方的总和，并将这些总和累加到全局的答案数组中。
这样，每次处理一个元素的时间复杂度是O(K^2)，总时间复杂度是O(N*K^2)。因为K<=10，所以这样的复杂度是可以接受的。
接下来，我们需要验证这个方法的正确性。例如，考虑样例1的情况：
样例1的输入是N=3，K=2，数组3、1、2。
处理第一个元素（3）时：
初始时，dp_prev数组全为0，除了dp_prev[0] =0？或者初始条件应该如何处理？
或者，初始的prev_dp数组在未处理任何元素时，其状态是什么？
比如，当处理第一个元素之前，prev_dp数组的值是：dp_prev[0] = 1（对应空子数组？或者不，因为当处理第一个元素时，子数组只能是它自己，没有之前的元素）？
或者，初始时，prev_dp数组的各个k值全为0，除了dp_prev[0] =1？因为空子数组的0次方是1，但之后处理第一个元素时，新的子数组是[A1]，此时转移后的dp_new[0] =1（数目是1）？
这可能需要更仔细的初始化条件。例如，初始时，prev_dp的数组是全0，但处理第一个元素时：
prev_dp初始为处理前的情况，即没有元素。这时，当处理第一个元素A1时：
新的子数组数目是1（只有[A1]），所以 dp_new[0] =1（对应数目为1）。
然后，对于k>=1：
dp_new[k] = A1^k + sum_{m=0}^k C(k, m) * prev_dp[m] * A1^{k -m}
但是，prev_dp的初始状态是处理前的状态，即处理0个元素后的状态。此时，prev_dp[0]是1吗？
因为，当处理0个元素时，存在一个空子数组。该子数组的和的0次方是1。所以，初始的prev_dp数组在k=0时是1，其他k是0。
所以，处理第一个元素时，A=3：
dp_new[0] = prev_dp[0] +1 ? 或者，按照动态规划转移方程，当处理第一个元素时，新的dp_new[0]等于数目数目，即1。但是，按照之前的推论，数目数目等于处理该元素后的子数组数目，即1。所以，可能转移方程中的dp_new[0]等于 prev_dp[0] +1 ?
或者，可能转移方程中的dp_new[0]等于数目数目，即每次处理一个新元素，数目数目是前一个数目数目加1。例如，初始数目数目是0（处理前），处理第一个元素后数目数目是1，处理第二个是2，依此类推。这可能更直接。
因此，可以单独处理dp_new[0] = prev_dp[0] +1，而其他k>=1的情况使用转移方程。
这可能更高效，因为dp[0]可以单独计算，而其他k的转移可以利用这一点。
这样，在动态规划过程中，dp_new[0] = prev_dp[0] +1。这确保了每个新处理的元素会增加子数组数目1个。例如，初始时prev_dp[0]是0（处理0个元素时数目数目是0？或者空子数组的数目是1？这可能需要重新考虑。）
这可能存在矛盾。比如，当处理0个元素时，空子数组的数目是1。所以，初始的prev_dp数组是：prev_dp[0] =1，其他k为0。处理第一个元素时，新的子数组数目是1，所以 dp_new[0] =1。这可以通过 prev_dp[0] +1 =1（初始是0，然后加1？或者初始是1，加1得到2？这明显不对。）
这表明，之前的想法可能存在错误。必须重新考虑初始化条件。
正确的初始化条件应该是什么呢？
假设初始时，处理了0个元素，此时存在一个空子数组。但是，原题中的子数组要求l <=r，且l和r的取值从1到N。空子数组可能不被考虑？或者原题中的子数组是非空的？
根据问题描述，样例1中的输出计算了所有子数组的和，包括单个元素、两个元素和三个元素的子数组。例如，对于样例1的输入3 1 2，所有子数组是：
[3], [1], [2], [3,1], [1,2], [3,1,2]。总共有6个子数组，对应3+3*(3+1)/2=6？或者，子数组数目是n*(n+1)/2，当n=3时是6。
所以，原题中的子数组是非空的，即l <=r，且1<=l <=r <=N。所以，每个子数组至少包含一个元素。因此，空子数组不被考虑。
那在动态规划的过程中，每个步骤中的子数组数目等于i（当前处理的是第i个元素吗？）例如，处理第一个元素时，子数组数目是1，处理第二个元素时数目是2，处理第三个时数目是3，等等。
那初始状态prev_dp数组的初始条件应该是什么？
当处理第一个元素时，数目是1。所以，处理第一个元素之前的prev_dp数组的各个k值应该是全0，因为还没有任何子数组。或者，初始时prev_dp数组是空的，处理第一个元素时，数目数目是1，所以 dp_new[0] =1。
这可能意味着初始的prev_dp数组在处理0个元素时，所有k的值为0，包括k=0。因为此时没有子数组，所以数目数目是0。处理第一个元素时，数目数目变为1，所以 dp_new[0] =1，其他k的值按照动态规划转移方程计算。
这可能更合理。例如，初始时，prev_dp[0] =0，处理第一个元素后，数目数目变为1，所以 dp_new[0] =0+1=1。这样，每次处理一个元素时，数目数目增加1。这符合预期。
那么，动态规划的转移方程可以写成：
对于每个元素，处理后的dp_new[0] = prev_dp[0] +1。这表示，以当前元素结尾的子数组数目等于前一个数目（处理前i-1元素时，数目数目是i-1）加1，得到i。例如，处理第i个元素时，数目数目变为i。
然后，对于其他k>=1的情况，使用转移方程：
dp_new[k] = A^k + sum_{m=0}^k C(k, m) * prev_dp[m] * A^{k -m}
其中，A是当前处理的元素的值。
这样，初始时，prev_dp数组是处理0个元素后的状态，所有k的值都是0，包括k=0。处理第一个元素后，dp_new[0] =0+1=1。dp_new[1] =A^1 + C(1,0)*prev_dp[0]*A^{1}。此时prev_dp[0]是0，所以 dp_new[1] =A + 1*0*A^1= A。也就是，以第一个元素结尾的子数组的和的1次方的总和是A。
处理第二个元素时，数目数目是2。对于k=2，dp_new[2] =A^2 + sum_{m=0}^2 C(2,m)*prev_dp[m]*A^{2 -m}。此时，prev_dp[m]是处理第一个元素后的结果。例如，prev_dp[0] =1，prev_dp[1] =A1，其他k>=2的可能为0。假设当前处理的元素是A2，那么：
dp_new[2] =A2^2 + C(2,0)*1*A2^2 + C(2,1)*A1 *A2^1 + C(2,2)*0*A2^0.
= A2^2 + 1*1*A2^2 + 2*A1*A2 + 0
= 2*A2^2 + 2*A1*A2.
这可能对应以第二个元素结尾的两个子数组的平方和。例如，子数组[A2]的平方是A2^2，子数组[A1,A2]的平方是(A1 +A2)^2 =A1^2 + 2A1A2 +A2^2。总和是A2^2 + (A1^2 + 2A1A2 +A2^2) =A1^2 + 2A1A2 + 2A2^2。而根据动态规划的转移结果，这里得到的是 2A2^2 + 2A1A2。这似乎不一致，说明我们的动态规划方法可能有错误。
这说明，我们的动态规划转移方程可能没有正确计算所有可能的子数组的和的平方的总和。例如，在第二个元素处理时，动态规划的转移方程给出的dp_new[2]等于2*A2^2 +2*A1*A2。而正确的结果应该包括A1^2项，因此这说明动态规划的方法可能没有正确考虑这种情况。
这说明，之前的思路存在问题。必须重新考虑动态规划的状态转移方程。
问题可能出在转移方程的推导上。例如，当处理新元素A时，所有以当前元素结尾的子数组的和的k次方的总和等于：对于每个以i-1结尾的子数组的和S，新的和是S +A，其k次方的总和，加上单独的A的k次方。
因此，正确的转移方程应该为：
dp_new[k] = A^k + Σ_{m=0}^k C(k, m) * dp_prev[m] * A^{k -m}
其中，dp_prev[m]是前一个元素处理后的各个m次方的总和。例如，当处理到第i-1个元素时，dp_prev[m]表示以i-1结尾的所有子数组的和的m次方的总和。
这样，在处理第i个元素时，每个以i结尾的子数组的和可以表示为：S + A_i，其中S是某个以i-1结尾的子数组的和。此外，还包括单独的子数组[A_i]。
例如，对于样例1中的第二个元素1：
处理第一个元素后的dp_prev数组是：
dp_prev[0] =1（数目数目是1）
dp_prev[1] =3（sum是3）
dp_prev[2] =3^2 =9.
处理第二个元素A=1时，新的dp_new[2]等于：
A^2 (1^2=1) +
sum_{m=0}^2 C(2,m)*dp_prev[m]*A^{2 -m}
= C(2,0)*1*1^2 + C(2,1)*3*1^1 + C(2,2)*9*1^0
= 1*1*1 + 2*3*1 + 1*9*1
=1 +6 +9=16.
加上单独的A^2=1，所以 dp_new[2] =1 +16=17?
那以第二个元素结尾的子数组的平方和总和是：
[A2]的平方是1^2=1.
[A1,A2]的平方是(3+1)^2=16.
总和是1+16=17，而动态规划计算得到17，这正确。那么，之前的错误可能出在计算中的例子。
例如，当处理第二个元素后，dp_new[2]是17，对吗？
是的。那么，当处理第三个元素A=2时：
dp_prev数组是处理第二个元素后的结果：
dp_prev[0] =2（数目数目是2）
dp_prev[1] =3 + (3+1) =3+4=7?或者动态规划的dp_prev[1]的值是？
处理第二个元素后的dp_prev数组的各个k值：
当处理第二个元素时，对于k=0，数目数目是2。所以，dp_prev[0] =2.
对于k=1：
dp_new[1] =1 + sum_{m=0}^1 C(1, m)*prev_dp[m] *A^{1 -m}
prev_dp[m]在处理第一个元素后的值是：dp_prev_old[0] =1， dp_prev_old[1] =3.
所以：
当m=0: C(1,0)*1*1^{1-0}=1*1*1=1.
当m=1: C(1,1)*3*1^{0}=1*3*1=3.
所以总和是1+3=4. 加上A^1=1，得到 dp_new[1] =1+4=5?
或者，原式中的转移方程是：
dp_new[1] =1^1 + sum_{m=0}^1 C(1, m) * dp_prev_old[m] *1^{1 -m}.
其中，dp_prev_old[0] =1（处理第一个元素后的dp_prev_old数组的0次方总和是1）。
所以，sum部分为：C(1,0)*1*1^{1} + C(1,1)*3*1^{0} =1*1*1 +1*3*1=1+3=4.
所以，dp_new[1] =1 +4=5。这代表以第二个元素结尾的子数组的1次方的总和是5。而实际子数组的和是1（[A2]）和4（[A1,A2]），总和是5。所以，这正确。
对于k=2，处理第二个元素后的dp_prev[2]是17。所以，当处理第三个元素时，A=2：
dp_new[2] =2^2 + sum_{m=0}^2 C(2, m)*dp_prev[m]*2^{2 -m}.
其中，dp_prev[m]是处理第二个元素后的各个值：
dp_prev[0] =2, dp_prev[1]=5, dp_prev[2]=17.
sum部分计算：
m=0: C(2,0)*2*2^2 =1*2*4=8.
m=1: C(2,1)*5*2^(1) =2*5*2=20.
m=2: C(2,2)*17*2^0 =1*17*1=17.
总和是8+20+17=45.
加上A^2=4，所以 dp_new[2] =4+45=49.
而以第三个元素结尾的子数组的平方和总和为：
[A3]^2=4.
[A2,A3]^2=(1+2)^2=9.
[A1,A2,A3]^2=(3+1+2)^2=6^2=36.
以及，[A1,A2,A3]之前的子数组是否都被处理？比如，以第三个元素结尾的子数组还有[A3], [A2,A3], [A1,A2,A3]。这些的平方和总和是4+9+36=49，与动态规划的结果一致。所以，动态规划的方法在样例中的计算是正确的。
这样，总答案是将每个元素处理后的dp[k]累加起来。例如，样例1中，处理每个元素后的dp[2]的值分别是：
第一个元素处理后的dp[2] =9.
第二个元素处理后的dp[2] =17.
第三个元素处理后的dp[2] =49.
总累加和是9+17+49=75，与样例输出一致。这说明动态规划的方法是可行的。
因此，动态规划的方法是正确的。现在，需要将这个思路转化为代码。
在代码实现中，需要注意以下几点：
1.预处理组合数C(k, m)的值，其中k的范围是0到K，m的范围是0到k。由于K<=10，这可以预先计算存储在一个二维数组中。
2.对于每个元素A_i，计算其各个幂次的值，如A^0, A^1, ..., A^K。这可以通过快速幂或者直接循环计算，但需要注意取模（因为A_i的值可能很大，但根据输入条件，每个A_i的值是已经对mod取模后的结果）。
3.在动态规划的过程中，维护一个当前dp数组和一个新的dp数组。每次处理新元素时，根据前一个dp数组和当前元素的幂次，计算新的dp数组的值。
4.最终，将每个元素处理后的各个k次方的dp值累加到总答案中。
现在，我们来看如何实现这一点。
首先，预处理组合数。对于C(k, m)的值，0<=m<=k<=K。可以用动态规划的方式计算，或者直接计算阶乘和逆元。但对于K<=10，直接计算组合数的值更简单。例如，C(k, m) =k!/(m! (k-m)! )，或者可以用递推式 C(k, m) =C(k-1, m-1)+C(k-1, m)。
在代码中，可以预先计算一个二维数组C，其中C[k][m]表示组合数C(k, m)。
例如，当K=10时，组合数的范围是k=0到10，m=0到k。
接下来，处理每个元素A_i：
对于每个元素A_i，计算其各个幂次，如pow_A[0...K]。其中pow_A[d] =A_i^d mod mod.
这可以用一个循环计算：
pow_A[0] =1;
for d in 1 to K:
pow_A[d] =pow_A[d-1] * A_i % mod;
然后，计算新的dp数组：
初始化new_dp数组为0.
new_dp[0] =prev_dp[0] +1.
对于k from1 to K:
new_dp[k] =pow_A[k]
for m from0 to k:
new_dp[k] = (new_dp[k] + C[k][m] * prev_dp[m] % mod * pow_A[k -m]) % mod
注意，这里的C[k][m]是组合数，必须正确计算。例如，当k=2，m=1，C[2][1]=2.
处理完new_dp数组后，将各个new_dp[k]的值累加到总答案ans[k]中。例如，ans[k] += new_dp[k]，并对mod取模。
最终，总答案就是ans[K]。
这样，代码的大致结构如下：
预处理组合数C[k][m].
初始化prev_dp数组为全0.
prev_dp[0] =0.
总答案ans =0.
对于每个元素A in A数组:
计算pow_A[0..K].
计算new_dp数组:
new_dp[0] = (prev_dp[0] +1) % mod.
对于k from1 to K:
new_dp[k] =pow_A[k]
for m from0 to k:
new_dp[k] += C[k][m] * prev_dp[m] % mod * pow_A[k -m] % mod
new_dp[k] %= mod
将new_dp[K]累加到ans中.
prev_dp = new_dp.
返回ans % mod.
但需要注意，这里的总答案ans是每个元素的new_dp[K]的总和吗？或者，每个元素的new_dp数组的各个k的总和是累积到ans中的各个k？
根据问题描述，我们需要求所有子数组的和的K次方的总和。而每个元素的new_dp[k]表示以当前元素结尾的所有子数组的和的k次方的总和。因此，总答案应该是所有元素的new_dp[K]的总和。
例如，在处理每个元素i时，以i结尾的子数组的数目是i个，每个子数组的和的K次方的总和是new_dp[K]。将这些值累加起来，就是总答案。
所以，在代码中，应该维护一个变量ans，每次处理元素i时，将new_dp[K]加到ans上，并对mod取模。
综上，代码的步骤是：
预处理组合数C.
初始化prev_dp数组为全0，其中prev_dp[0] =0.
ans =0.
对于每个A_i in A数组:
计算pow_A = [1] + [A_i^d mod mod for d in 1..K]
new_dp = [0]*(K+1)
new_dp[0] = (prev_dp[0] +1) % mod
for k in 1..K:
new_dp[k] = pow_A[k]
for m in 0..k:
new_dp[k] = (new_dp[k] + C[k][m] * prev_dp[m] % mod * pow_A[k -m] % mod) % mod
ans = (ans + new_dp[K]) % mod
prev_dp = new_dp
输出ans
这样，处理每个元素的时间复杂度是O(K^2)，总时间复杂度是O(N*K^2)，对于N=2e5，K=10，这应该是可以接受的。
现在，验证这个代码是否正确。以样例1为例：
处理第一个元素A=3：
prev_dp初始为[0, 0, 0].
计算pow_A: [1,3,9].
new_dp[0] =0+1=1.
对于k=1:
new_dp[1] =3 + C[1][0]*0*3^1 + C[1][1]*0*3^0 →3.
k=2:
new_dp[2] =9 + C[2][0]*0*9 →9.
所以，new_dp[2]=9。ans +=9 →9.
处理第二个元素A=1:
pow_A=[1,1,1].
new_dp[0] =1+1=2.
k=1:
new_dp[1] =1 + C[1][0]*1*1 + C[1][1]*3*1 →1+1*1*1 +1*3*1=1+1+3=5.
k=2:
new_dp[2] =1 + C[2][0]*2*1^2 + C[2][1]*5*1^1 + C[2][2]*9*1^0 →1+1*2*1 +2*5*1 +1*9*1 →1+2+10+9=22？或者可能我的计算有误？
哦，原来处理第二个元素时，prev_dp是处理第一个元素后的new_dp数组，即prev_dp[0]=1，prev_dp[1]=3，prev_dp[2]=9.
所以，当处理第二个元素时，k=2的计算如下：
new_dp[2] =1^2 =1.
然后，sum_{m=0}^2 C[2][m] * prev_dp[m] *1^{2 -m}.
当 m=0: C[2][0]=1，prev_dp[0]=1 →1*1*1=1.
m=1: C[2][1]=2，prev_dp[1]=3 →2*3*1=6.
m=2: C[2][2]=1，prev_dp[2}=9 →1*9*1=9.
sum=1+6+9=16. new_dp[2] =1+16=17.
所以，ans +=17 →9+17=26.
处理第三个元素A=2:
pow_A = [1,2,4].
new_dp[0] =2+1=3.
k=2:
new_dp[2] =4 + sum_{m=0}^2 C[2][m] * prev_dp[m] * 2^{2 -m}.
prev_dp是处理第二个元素后的new_dp数组，即prev_dp[0}=2, prev_dp[1}=5, prev_dp[2}=17.
sum:
m=0: C[2][0}*2*2^2=1*2*4=8.
m=1: C[2][1}*5*2^1=2*5*2=20.
m=2: C[2][2}*17*2^0=1*17*1=17.
sum=8+20+17=45.
new_dp[2}=4+45=49. ans +=49 →26+49=75.
这与样例1的输出一致，说明代码正确。
对于样例2，输入是N=1，K=10，A=[0]。这时，处理第一个元素时：
pow_A[10] =0^10=0.
new_dp[10} =0 + sum_{m=0}^10 C[10][m}*prev_dp[m}*0^{10 -m} →但 prev_dp数组初始为0。所以，sum为0。 new_dp[10} =0.
ans +=0.
所以输出0，正确。
综上，这个动态规划的思路是正确的，并且可以处理所有的测试用例。
现在，编写C++代码实现该思路。需要注意的是：
1.预处理组合数。可以用递推的方式。
2.取模运算。所有计算都必须mod 998244353.
3.处理pow_A的时候，注意A_i可能为0，但0的任何次方（除0^0外）都是0。但pow_A[0}是1，而其余pow_A[d}是A^i的d次方模mod.
代码的大致结构如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
const int MAXK = 10;
int main() {
int N, K;
cin >> N >> K;
vector<int> A(N);
for (int &a : A) cin >> a;
// Precompute combination numbers C[k][m]
vector<vector<long long>> C(K+1, vector<long long>(K+1, 0));
for (int k = 0; k <= K; ++k) {
C[k][0] = 1;
for (int m = 1; m <= k; ++m) {
C[k][m] = (C[k-1][m-1] + C[k-1][m]) % MOD;
}
}
vector<long long> prev_dp(K+1, 0);
long long ans = 0;
for (int a : A) {
vector<long long> new_dp(K+1, 0);
// Compute pow_a: a^0, a^1, ..., a^K mod MOD
vector<long long> pow_a(K+1);
pow_a[0] = 1;
for (int d = 1; d <= K; ++d) {
pow_a[d] = pow_a[d-1] * a % MOD;
}
new_dp[0] = (prev_dp[0] + 1) % MOD;
for (int k = 1; k <= K; ++k) {
new_dp[k] = pow_a[k];
for (int m = 0; m <= k; ++m) {
new_dp[k] = (new_dp[k] + C[k][m] * prev_dp[m] % MOD * pow_a[k - m] % MOD) % MOD;
}
}
ans = (ans + new_dp[K]) % MOD;
prev_dp = new_dp;
}
cout << ans % MOD << endl;
}
注意，组合数的预处理部分，C[k][m]的计算可能需要在模MOD下进行。但由于K<=10，组合数的值不会超过MOD，所以直接相加即可，不需要取模，但为了安全，可以在递推时取模。
此外，在计算pow_a的时候，当a是0时，pow_a[0}=1，pow_a[d}=0 for d>=1.
综上，这个代码应该可以正确处理所有的情况。</think>要解决这个问题，我们需要计算所有子数组的和的K次方的总和，并对结果取模998244353。直接枚举所有子数组的方法在时间复杂度上是不可行的，因此我们需要使用动态规划和组合数学来高效地解决这个问题。
### 方法思路
1. **组合数预处理**：预先计算组合数C(k, m)，用于后续多项式展开中的组合计算。
2. **动态规划**：维护一个动态规划数组`dp`，其中`dp[k]`表示以当前元素结尾的所有子数组的和的k次方的总和。
3. **幂次计算**：对于每个元素，计算其从0到K次方的值，用于后续的多项式展开。
4. **状态转移**：根据前一个元素的dp数组和当前元素的幂次值，更新当前元素的dp数组。
5. **结果累加**：将每个元素处理后的K次方值累加到总答案中。
### 解决代码
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
int main() {
int N, K;
cin >> N >> K;
vector<int> A(N);
for (int &a : A) cin >> a;
// 预处理组合数C(k, m)
vector<vector<long long>> C(K + 1, vector<long long>(K + 1, 0));
for (int k = 0; k <= K; ++k) {
C[k][0] = 1;
for (int m = 1; m <= k; ++m) {
C[k][m] = (C[k-1][m-1] + C[k-1][m]) % MOD;
}
}
vector<long long> prev_dp(K + 1, 0);
long long ans = 0;
for (int a : A) {
vector<long long> pow_a(K + 1);
pow_a[0] = 1;
for (int d = 1; d <= K; ++d) {
pow_a[d] = pow_a[d - 1] * a % MOD;
}
vector<long long> new_dp(K + 1, 0);
new_dp[0] = (prev_dp[0] + 1) % MOD;
for (int k = 1; k <= K; ++k) {
new_dp[k] = pow_a[k];
for (int m = 0; m <= k; ++m) {
new_dp[k] = (new_dp[k] + C[k][m] * prev_dp[m] % MOD * pow_a[k - m]) % MOD;
}
}
ans = (ans + new_dp[K]) % MOD;
prev_dp = new_dp;
}
cout << ans % MOD << endl;
return 0;
}
```
### 代码解释
1. **组合数预处理**：使用递推的方式计算组合数C(k, m)，存储在一个二维数组中。
2. **输入处理**：读取输入的数组长度N、次方数K和数组A。
3. **幂次计算**：对于每个元素，计算其从0到K次方的值，存储在数组`pow_a`中。
4. **动态规划状态转移**：通过遍历每个元素，更新动态规划数组`new_dp`。对于每个k次方，利用组合数和前一个状态的dp数组进行计算。
5. **结果累加**：将每个元素处理后的K次方值累加到总答案中，并最终输出结果。
这种方法的时间复杂度为O(N*K^2)，在给定的约束条件下是可行的。
本文介绍了使用数论技巧高效计算一个数及其幂次的因子个数的方法，并提供了一个具体的编程实现案例。通过约数定理及素数筛选，文章详细阐述了如何减少计算复杂度。
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