HDU 6069 求区间[L,R]每个数的k次方的因子数之和

缺乏知识点

1.约数定理： num=p1^c1 * p2^c2 * ....* pn^cn p代表素数 c代表对应幂次

num对应的因子数= (c1+1)*(c2+1)*......*(cn+1)

2.一个数num 大于sqrt(num)的素因子数量只能为0或者1

可以解决的问题：

1.所有求一个数num的因子数时只需要枚举<=sqrt(num)的素数，num除掉所有<=sqrt(num)的素数时，num！=1就说明存在一个> sqrt(num) 的素数，之后套约数定理算就可以了

2.如果求一个数num^k的因子数，方法同1一样，只不过套公式的时候 num^k=p1^(k*c1) * p2^(k*c2 ) * ....* pn^(k*cn )

3.如果求一个区间的因子数，先把sqrt(区间上限) 的素数表打出来，枚举素数，再倍增枚举素数对应区间的数，然后就和上面的操作一样了。

此题官方题解

1003. Counting Divisors

设 $n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}$ ，则 $d(n^k)=(kc_1+1)(kc_2+1)...(kc_m+1)$ 。

枚举不超过 $\sqrt{r}$ 的所有质数 $p$ ，再枚举区间 $[l, r]$ 中所有 $p$ 的倍数，将其分解质因数，最后剩下的部分就是超过 $\sqrt{r}$ 的质数，只可能是 $0$ 个或 $1$ 个。

时间复杂度 $O(\sqrt{r}+(r-l+1)\log\log(r-l+1))$ 。

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <algorithm>  
#include <iostream>  
#include <cstdlib>  
#include <cstring>  
#include <string>
#include <cstdio>  
#include <climits>
#include <cmath> 
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <sstream>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define fora(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define fors(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)
#define sci(x) scanf("%d",&x)
#define scl(x) scanf("%lld",&x)
const int MAXN=1000024;
const long long MOD=998244353;
const double eps = 1e-8;
using namespace std;
int t;
LL l,r,k;
bool npm[MAXN];
LL pm[MAXN],z=0;
LL Num[MAXN],f[MAXN];
void reset(){
    fill(Num,Num+MAXN,1);
}
int main() {
#ifdef local
    freopen("ini.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    npm[0]=npm[1]=1;
    for(int i=2;i<=1000000/2;i++)
        if(npm[i]==0){
            for(int j=i+i;j<=1000000;j+=i){
                npm[j]=1;
            }
            pm[z++]=i;
        }
    
    sci(t);
    while(t--){
        reset();
        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&k);
        for(int i=0;i+l<=r;i++) f[i]=i+l;

        LL s;
        LL sum=0,num=0;
        for(int i=0;i<z;i++){
            if(l%pm[i]) s=(pm[i]-l%pm[i])+l;
            else s=l;    
            for(;s<=r;s+=pm[i]){
                num=0;
                while(f[s-l]%pm[i]==0) f[s-l]/=pm[i],num++;
                Num[s-l]=(Num[s-l]*(num*k%MOD+1))%MOD;
            }
        }
        
        for(int i=0;i<=r-l;i++)
            if(f[i]==1) sum=(sum+Num[i])%MOD;
            else sum=(sum+Num[i]*(k+1)%MOD)%MOD;
        printf("%lld\n",sum);
    }

    return 0;
}