日志6:NASA的食物计划

NASA面临航天器维修中的能量问题,需设计能在有限体积和质量条件下提供最多卡路里的食品方案。通过动态规划求解食品组合以实现最大卡路里输出。

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Background

NASA(美国航空航天局)因为航天飞机的隔热瓦等其他安全技术问题一直大伤脑筋,因此在各方压力下终止了航天飞机的历史,但是此类事情会不会在以后发生,谁也无法保证。所以,在遇到这类航天问题时,也许只能让航天员出仓维修。但是过多的维修会消耗航天员大量的能量,因此 NASA 便想设计一种食品方案,使体积和承重有限的条件下多装载一些高卡路里的食物。

Description

航天飞机的体积有限,当然如果载过重的物品,燃料会浪费很多钱,每件食品都有各自的体积、质量以及所含卡路里。在告诉你体积和质量的最大值的情况下,请输出能达到的食品方案所含卡路里的最大值,当然每个食品只能使用一次。

Input

第一行 22 个整数,分别代表体积最大值 ℎh 和质量最大值 �t。

第二行 11 个整数代表食品总数 �n。

接下来 �n 行每行 33 个数 体积 ℎ�hi​,质量 ��ti​,所含卡路里 ��ki​。

Output

一个数,表示所能达到的最大卡路里(int 范围内)

Sample 1

InputcopyOutputcopy
320 350
4
160 40 120
80 110 240
220 70 310
40 400 220
550

Hint

对于 100%100% 的数据,ℎ,�,ℎ�,��≤400h,t,hi​,ti​≤400,�≤50n≤50,��≤500ki​≤500。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
int h0,t0;
int n;
int h[60],t[60],k[60];
//体积    质量   卡路里
int dp[500][500];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    cin>>h0>>t0>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>h[i]>>t[i]>>k[i];
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=h0;j>=h[i];j--)
        {
            for(int p=t0;p>=t[i];p--)
            {
                dp[j][p]=max(dp[j][p],dp[j-h[i]][p-t[i]]+k[i]);
                ans=max(ans,dp[j][p]);
            }
        }
    }
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

<think>我们注意到,用户要求的是洛谷P1507 NASA食物计划的最简代码。这是一个二维费用的背包问题(每个物品有两种费用:体积和质量,价值为卡路里)。我们需要在不超过总体积H和总质量T的情况下,最大化卡路里总和。 根据引用[4]中的代码,我们可以发现一个非常简洁的解法:使用二维dp数组,然后使用三重循环(物品循环,以及体积和质量的倒序循环)。这种方法优化了空间复杂度,而且代码非常简短。 最简代码思路: 1. 定义dp数组:dp[j][q]表示在体积不超过j,质量不超过q的情况下能获得的最大卡路里。 2. 初始化:dp数组全部初始化为0。 3. 循环每个物品,对体积和质量进行倒序遍历(从最大值到当前物品的体积/质量),更新dp数组。 4. 状态转移方程:dp[j][q] = max(dp[j][q], dp[j-h[i]][q-t[i]] + k[i]) 注意:为了节省空间,我们使用滚动数组,并且逆序更新以避免重复选择(01背包)。 因此,我们可以写出以下最简代码(约15行):</think>### 洛谷 P1507 NASA食物计划 最简代码实现 以下是针对该二维费用背包问题的最简洁 C++ 代码(**仅 10 行**),采用滚动数组优化空间复杂度: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int H, T, n, h, t, k, dp[401][401] = {}; cin >> H >> T >> n; while (n--) { cin >> h >> t >> k; for (int i = H; i >= h; i--) for (int j = T; j >= t; j--) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-h][j-t] + k); } cout << dp[H][T]; } ``` ### 代码解析: 1. **核心思路** 使用**二维滚动数组**`dp[i][j]`表示体积限制为 $i$、质量限制为 $j$ 时的最大卡路里值: - 状态转移方程: $$dp[i][j] = \max(dp[i][j], \ dp[i-h][j-t] + k)$$ - 倒序遍历避免重复选择(01背包特性) 2. **输入输出** - **输入**: - 第一行:最大体积 $H$、最大质量 $T$、食品种类数 $n$ - 后续 $n$ 行:每行食品的体积 $h$、质量 $t$、卡路里 $k$ - **输出**:可装载的最大卡路里值 3. **优化亮点** - **空间压缩**:省略物品维度,空间复杂度降至 $O(H \times T)$ - **即时处理**:边读入数据边计算,无需额外存储数组 - **循环精简**:合并输入与 DP 状态更新 ### 复杂度分析 | 维度 | 复杂度 | 说明 | |------------|---------------|--------------------------| | 时间复杂度 | $O(n \times H \times T)$ | 三重循环 | | 空间复杂度 | $O(H \times T)$ | 仅需二维 DP 数组 | > 此方案在**代码简洁性**与**性能**间取得平衡,通过倒序更新确保状态正确转移[^4]。 --- ### 相关问题 1. 二维费用背包问题与普通 01 背包的核心区别是什么? 2. 为什么 DP 数组需要倒序遍历?正序遍历会导致什么问题? 3. 如何修改代码以记录具体选择的食品组合? 4. 若食品数量极大($n > 10^4$),应如何优化?
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