浮点加减运算中关于结果规格化的思考

对于两个浮点数x和y满足：

完成x与y的加减法有四个步骤：

1. 0操作数检查。即检查是否有一个操作数为0，是的话直接得到结果，一般在计算机中不进行这一步。
2. 比较阶码大小并完成对阶。要让两个浮点数的尾数能够直接相加减，它们的阶码也就是$M_x和M_y$必须相同，因此必须完成对阶，一般是让小阶向大阶看齐。
3. 尾数进行加减运算。方法与定点加减运算完全一致，没有什么好说的。
4. 结果规格化。这一步是重点，也是难点。
   要想知道怎么规格化，肯定得知道什么才是规范的表达方式。浮点数都是近似表示的，精度由尾数决定，数的表示范围大小由R、E决定。为了提高精度需要使尾数的有效位数尽可能占满可用的位数。这种措施称为浮点数的规格化。规格化要求尾数：
             1/R<=|M|<1。
   计算机中R = 2，因此实际上我们计算出来得到的尾数必须属于[0.5, 1)。

在浮点数加减运算时，我们采用双符号位，因此，当计算结果为01.XXXX或者10.XXXX时，表示结果溢出，已经大于1了，因此需要规格化。
下面举个具体的例子：
$m=2^{2}X0.11011011，n=2^{4}X(-0.10101100)$，求m+n。
逐步分析：

• 0操作数检查。m和n都不为0。
• 对阶。小阶2向大阶4对齐，所以m的阶数加2，相应地，m的尾数右移（小数点左移，尾数变小）两位：$m=2^{4}X0.00110110(11)$，而n保持不变。
• 由于要进行补码运算，所以将m和n的尾数变成补码表示(双符号位)：
  $m=2^{4}X00.00110110(11)，n=2^{4}X11.01010100$，其中11.01010100=11.01010011+1（取反再加1）。接下来将尾数相加：
  
  可以看到并未溢出，但是并不一定满足大于0.5， 我们将其转成原码很容易发现第一位为0，也就是说是小于0.5的，必须规格化，由此我们总结出要规格化的几种情形：
• 若尾数为00.0XXX或者11.1XXX，虽然并未溢出，但是并不满足大于0.5，因此也必须要规格化，由于尾数要变大，阶码变小，即尾数左移（小数点右移），称之为向左规格化，使之最终变成00.1XXXX或者11.0XXXX。
• 若尾数为10.XXXX或者01.XXXX表明运算结果溢出，必须使尾数变小，阶码变大，尾数右移（小数点左移），称之为向右规格化。
• 针对例子中的情况，需要进行向左规格化，最终变成：
      $m+n=11.00010101(10)X{2}^3$
• 将尾数进行舍入处理，最后为10直接加1，变成11.00010110，所以换成原码的尾数为00.11101010，即最终有：
      $m+n=0.11101010X{2}^{011}$。