矩阵反演公式的推导与编程实现

矩阵反演公式的推导与编程实现

矩阵反演是线性代数中一个重要的概念，它能够帮助我们解决很多实际问题。在本文中，我将详细介绍矩阵反演的推导过程，并给出相应的源代码进行编程实现。

1. 矩阵反演的定义
   矩阵反演可以理解为求取给定矩阵的逆矩阵。对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵，那么就称B是A的逆矩阵，记作A⁻¹。

2. 矩阵反演的推导
   我们从最基本的2阶矩阵开始推导，然后逐步扩展到n阶矩阵。

首先考虑一个2阶矩阵：

A = [a b]
    [c d]

其中ad-bc≠0，即A可逆。我们要找到一个2阶矩阵B，使得AB=BA=I，即：

[a b] [x y]   [ax + by  ax + by]
[c d] [z w] = [cx + dy  cx + dy]

解方程组得：

ax + by = 1    (1)
cx + dy = 0    (2)

我们可以利用克拉默法则求解这个方程组。首先计算行列式D：

D = det(A) = ad - bc = ad - bc ≠ 0

然后分别计算未知数x和y的行列式Dx和Dy：

Dx = det([1 b; 0 d]) = d
Dy = det([a 1; c 0]) = -c

最后，利用克拉默法则，我们可以计算出