反演原理相关

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本文深入探讨了反演原理，包括反演的定义、反演原理、转置反演、系数转移、乘法意义下的反演及集合间的反演。通过矩阵形式解析了演绎与反演之间的关系，并介绍了如何进行反演系数的求解，以及反演在不同场景下的应用。

一.反演的定义.

演绎：对于一个形如 $fi=∑j=1igjf_i=\sum_{j=1}^{i}g_j$ ，我们称其为演绎（正演）.

反演：对于一个演绎 $fi=∑j=1igjf_i=\sum_{j=1}^{i}g_j$ ，我们称它对应的反演为 $gi=∑j=1iBi,jfjg_i=\sum_{j=1}^{i}B_{i,j}f_j$ .

也就是说演绎和反演的关系是：
$f_i=\sum_{j=1}^{i}A_{i,j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=1}^{i}B_{i,j}f_j$

我们来推导一下什么时候才会满足这个条件：
$f_i=\sum_{j=1}^{i}A_{i,j}\sum_{k=1}^{j}B_{j,k}f_k\\ =\sum_{j=1}^{i}f_{j}\sum_{k=j}^{i}A_{i,k}B_{k,j}\\$

同时反过来代入：
$g_i=\sum_{j=1}^{i}B_{i,j}\sum_{k=1}^{j}A_{j,k}g_k\\ =\sum_{j=1}^{i}g_{j}\sum_{k=j}^{i}B_{i,k}A_{k,j}\\$

这个时候，我们发现必然有：
$\sum_{k=j}^{i}A_{i,k}B_{k,j}=\sum_{k=j}^{i}B_{i,k}A_{k,j}=[i=j]$

由此我们可以得出一个定理：
$\sum_{k=j}^{i}A_{i,k}B_{k,j}=[i=j]\Leftrightarrow \left(f_i=\sum_{j=1}^{i}A_{i,j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=1}^{i}B_{i,j}f_j\right)$

二.反演原理.

我们把 $f$ 和 $g$ 都写成一列的矩阵形式，可以得到：
$f_{i,1}=\sum_{j=1}^{i}A_{i,j}g_{j,1}\Leftrightarrow g_{i,1}=\sum_{j=1}^{i}B_{i,j}f_{j,1}$

写成矩阵的形式就是：
$\left[\begin{matrix} f_{1,1}\\ f_{2,1}\\ f_{3,1}\\ \vdots\\ f_{n,1} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} A_{1,1}&0&0&\cdots&0\\ A_{2,1}&A_{2,2}&0&\cdots&0\\ A_{3,1}&A_{3,2}&A_{3,3}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{n,1}&A_{n,2}&A_{n,3}&\cdots&A_{n,n} \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} g_{1,1}\\ g_{2,1}\\ g_{3,1}\\ \vdots\\ g_{n,1} \end{matrix}\right]\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} g_{1,1}\\ g_{2,1}\\ g_{3,1}\\ \vdots\\ g_{n,1} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} B_{1,1}&0&0&\cdots&0\\ B_{2,1}&B_{2,2}&0&\cdots&0\\ B_{3,1}&B_{3,2}&B_{3,3}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ B_{n,1}&B_{n,2}&B_{n,3}&\cdots&B_{n,n} \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} f_{1,1}\\ f_{2,1}\\ f_{3,1}\\ \vdots\\ f_{n,1} \end{matrix}\right]$

定睛一看，矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 互为逆矩阵，所以说求反演系数本质上就是在求逆矩阵.

我们称之为反演原理.

三.转置反演.

考虑一个类似于反演的形式：
$f_{i}=\sum_{j=i}^{n}A_{j,i}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=i}^{n}B_{j,i}f_j$

直接代入式子得到：
$f_{i}=\sum_{j=i}^{n}A_{j,i}\sum_{k=j}^{n}B_{k,j}f_k\\ =\sum_{j=i}^{n}f_{j}\sum_{k=i}^{j}B_{j,k}A_{k,i}$

同理可得到：
$g_{i}=\sum_{j=i}^{n}g_{j}\sum_{k=i}^{j}A_{j,k}B_{k,i}$

即：
$\sum_{k=i}^{j}A_{j,k}B_{k,i}=\sum_{k=i}^{j}B_{j,k}A_{k,i}=[i=j]$

若此时有反演：
$f'_{i}=\sum_{j=1}^{i}A'_{i,j}g'_{j}\Leftrightarrow g'_{i}=\sum_{j=1}^{i}B'_{i,j}f'_{j}$

由上面的结论得到：
$\sum_{k=j}^{i}A'_{i,k}B'_{k,j}=\sum_{k=j}^{i}B'_{i,k}A'_{k,j}=[i=j]$

那么此时就可以让 $A_{j,i}=A'_{i,j},B_{j,i}=B'_{i,j}$ .

发现 $A$ 为 $A^{'}$ 的转置矩阵， $B$ 为 $B^{'}$ 的转置矩阵，故称下面两个反演互为转置反演：
$f_{i}=\sum_{j=1}^{i}A_{i,j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=1}^{i}B_{i,j}f_j\\f_{i}=\sum_{j=i}^{n}A_{j,i}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=i}^{n}B_{j,i}f_j$

若放到矩阵上来说，就是一个三角矩阵的转置矩阵的逆矩阵等于这个三角矩阵的逆矩阵的转置矩阵，即：
$\overline{A}^{-1}=\overline{A^{-1}}$

注意其前提为 $A$ 是个三角矩阵.

四.转移反演中的某个系数.

假设我们有如下形式的反演：
$f_{i}=\sum_{j=1}^{i}A_{i,j}c_{j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=1}^{i}B_{i,j}f_j\\$

考虑如何把系数 $c_i$ 转移到右式中.

设 $z_{i}=c_{j}g_{j}$ ，那么有：
$f_{i}=\sum_{j=1}^{i}A_{i,j}z_{j}\Leftrightarrow \frac{z_{i}}{c_{i}}=\sum_{j=1}^{i}B_{i,j}f_{j}\\ f_{i}=\sum_{j=1}^{i}A_{i,j}z_{j}\Leftrightarrow z_{i}=\sum_{j=1}^{i}B_{i,j}c_{i}f_{j}$

同理也有：
$f_{i}=\sum_{j=i}^{n}A_{j,i}c_jg_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=i}^{n}B_{j,i}f_j\\ f_{i}=\sum_{j=i}^{n}A_{j,i}z_j\Leftrightarrow z_{i}=\sum_{j=i}^{n}B_{j,i}c_if_{j}$

我们称这个技巧为系数转移.

五.往乘法上的拓展.

乘法意义下的反演：
$f_{i}=\prod_{j=1}^{i}g^{A_{i,j}}_{j}\Leftrightarrow g_{i}=\prod_{j=1}^{i}f^{B_{i,j}}_{j}$

这种反演对应了把加法换成乘法并把乘法换成幂后的广义矩阵乘法，由于它本质上与最初的反演相同，所以之前反演拥有的性质这个反演都拥有.

六.一个经典的反演变换.

对于一个反演：
$f_i=\sum_{j=1}^{i}(-1)^{j}A_{i,j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=1}^{i}(-1)^{j}B_{i,j}f_{j}$

很容易变换出与它等价的7种形式：
$f_{i}=\sum_{j=1}^{i}A_{i,j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=1}^{i}(-1)^{i-j}B_{i,j}f_j\\ f_{i}=\sum_{j=i}^{n}(-1)^{j}A_{j,i}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=i}^{n}(-1)^{j}B_{j,i}f_{j}\\ f_{i}=\sum_{j=i}^{n}A_{j,i}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}B_{j,i}f_{j}\\ f_i=\prod_{j=1}^{i}g^{(-1)^{j}A_{i,j}}_j\Leftrightarrow g_i=\prod_{j=1}^{i}f^{(-1)^{j}B_{i,j}}_{j}\\ f_i=\prod_{j=1}^{i}g^{A_{i,j}}_j\Leftrightarrow g_i=\prod_{j=1}^{i}f^{(-1)^{i-j}B_{i,j}}_{j}\\ f_i=\prod_{j=i}^{n}g^{(-1)^{j}A_{j,i}}_j\Leftrightarrow g_i=\prod_{j=i}^{n}f^{(-1)^{j}B_{j,i}}_{j}\\ f_i=\prod_{j=i}^{n}g^{A_{j,i}}_j\Leftrightarrow g_i=\prod_{j=1}^{i}f^{(-1)^{j-i}B_{j,i}}_{j}\\$