对倒立摆的LQR控制

1 问题建模

首先对待研究的问题建立数学模型
在倒立摆模型分析这篇文章里，我们已经做了完整的受力分析。最终得到了关于系统变量的微分方程。
$$(M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi }=u$$
$$(I+m{l}^2)\ddot{\psi }-mgl\psi =ml\ddot{x}$$

2 状态空间

可以将状态空间理解为一个包含系统输入、系统输出和状态变量的集合，它们之间的关系可以用一个一阶微分方程表达出来。

$$状态空间（集合）=\left\{\begin{array}{r}系统输入\\ 系统输出\\ 状态变量\end{array}\right\}=一阶微分方程$$
通过观察我们知道，目前系统模型是以二阶微分方程的形式描述的。为了消除方程中的高阶项，可以整理得到下面的式子。
{ x ˙ = x ˙ x ¨ = m 2 l 2 g I ( m + M ) + m M l 2 ψ − b ( I + m l 2 ) I ( m + M ) + m M l 2 x ˙ + ( I + m l 2 ) I ( m + M ) + m M l 2 u ψ ˙ = ψ ˙ ψ ¨ = m l g ( m + M ) I ( m + M ) + m M l 2 ψ − m l b I ( m + M ) + m M l 2 x ˙ + m l I ( m + M ) + m M l 2 u \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=\dot{x}\\ \ddot{x}=\frac{m^2l^2g}{I(m+M)+mMl^2} \psi-\frac{b(I+ml^2)}{I(m+M)+mMl^2} \dot{x}+\frac{(I+ml^2)}{I(m+M)+mMl^2}u\\ \dot{\psi}=\dot{\psi}\\ \ddot{\psi}=\frac{mlg(m+M)}{I(m+M)+mMl^2}\psi-\frac{mlb}{I(m+M)+mMl^2}\dot{x}+\frac{ml}{I(m+M)+mMl^2}u \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​x˙=x˙x¨=I(m+M)+mMl2m2l2g​ψ−I(m+M)+mMl2b(I+ml2)​x˙+I(m+M)+mMl2(I+ml