《微波技术基础》第二版 阅读随笔1

第一章 绪论

2.4GWiFI信号波长计算为
$$\frac{3\times 10^8}{2.4\times 10^9}=0.125m$$属于微波中的分米波范畴。

微波的波长比红外光要长，因此具有更好的穿透性。

第二章 从低频电路到微波分析

欧姆定律和功率计算

欧姆定律：
$$I=\frac{V}{R}$$
瞬时功率：
$$P(t)=v(t)i(t)$$
正弦波平均功率：
$$P_{AVG}=\frac{1}{2}VI\cos \theta$$其中$\theta$为$V$和$I$的相位夹角。通常用均方根值（rms）来描述电流和电压的幅度值。即$$I=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{i}^2(t)dt}$$
$$V=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{v}^2(t)dt}$$
有效值通常就是指均方根值，即$$V_{rms}=V_{eff};I_{rms}=V_{eff}$$

电感和电容

电感

理想电感不会消耗功率，理想电感两端的电压和流过电感的电流关系为：$$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$$即，电感两端的电压与电流的变化率成正比。
对应的，电感两端的电压与电流的关系可以表述为：$$i(t)=\frac{1}{L}{\int }_0^{t}v(t)dt$$
因此对于加在电感两端的正弦波电压$V_{0}cos(\omega t)$可以得到通过电感的电流为：
$$i(t)=\frac{1}{L}{\int }_0^t{V}_0\cos (\omega t)dt=\frac{V_0\sin \omega t}{\omega L}=\frac{V_0\cos (\omega t-\frac{\pi }{2})}{\omega L}$$即，电感会让电流滞后于电压。根据欧姆定律，电压与电阻做比值才能得到电流，所以分母$\omega L$的单位是$\Omega$。

体现出相位关系，电感的特征阻抗可以表示为$$Z_L=j\omega L$$

根据电感两端的电压和通过电感的电流强度可以经计算出此时电感所积累的能量：$$U_L={\int }_0^{t}v(t)i(t)dt=L{\int }_0^t\frac{di(t)}{dt}i(t)dt=L{\int }_0^{t}i(t)di(t)=\frac{L}{2}{i}^2(t)$$

电容

与理想电感一样，理想电容不消耗能量，具有储能性质。$$C=\frac{q(t)}{v(t)}$$其中$q(t)$为电容$t$时刻存储的电荷量,$v(t)$为$t$时刻电容两端的电压。电容充电时，电荷流进电容形成电流。电容内电荷量的变化率$\frac{dq(t)}{dt}$为电流强度。于是有：$$i(t)=\frac{dq(t)}{dt}=\frac{dCv(t)}{dt}$$
即，流过电容的电流大小与电容两端电压的变化率成正比。对应的我们可以得到：$$v(t)=\frac{1}{C}{\int }_0^{t}i(t)dt$$如果我们在电容两边施加一个正弦波电压$v(t)=V_0\cos (\omega t)$那么流过电容的电流可以表示为$$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}=C\frac{d{V}_0\cos (\omega t)}{dt}=-C{V}_0\omega \sin (\omega t)=C{V}_0\omega \cos (\omega t+\frac{\pi }{2})$$即，电容会让电压滞后于电流。

观察上式和相位图，可以得到：$$\frac{V_{0}cos(\omega t)}{i(t)}=\frac{1}{j\omega C}$$根据欧姆定律，$\frac{1}{j\omega C}$的单位是$\Omega$，即理想电容C的特征阻抗。
电容在在时刻$t$积累的能量可以表示为：$$U_C={\int }_0^{t}v(t)i(t)dt=C{\int }_0^{t}v(t)\frac{dv(t)}{dt}dt=C{\int }_0^{t}v(t)dv(t)=\frac{1}{2}C{v}^2(t)$$

电压和电流相量

相量不是向量，“相”指相位关系。复数电压和电流实际并不存在，相量是用于分析交流电而在复平面上画出的矢量，作用是直观表示正弦波的大小和相位，符号为大写的$V,I$。
我们以$V_0\cos (\omega t)$表示正弦交流电，当相量在复平面上沿正方向（逆时针）旋转，在实轴（水平轴）的投影代表瞬时波形的幅度。正是因为使用了余弦表示，在$t=0$时有最大值。
$$v(t)=Re[V\times e^{j\omega t}]$$
$$i(t)=Re[I\times e^{j\omega t}]$$
式中$V,I$分别表示电压和电流的相量值，相量是一个复数，这个复数中需要包含的信息有初始和角度和幅度的峰值，数学表示为：
$$V=20\angle 30^{\circ }=20e^{j30^{\circ }}$$根据欧拉公式有：$$v(t)=Re[V\cos (\omega t)]=Re[20e^{j30^{\circ }+\omega t}]=20\cos (\omega t+30^{\circ })$$

阻抗和导纳

阻抗

阻抗表示电介质对电荷移动所起到的阻碍作用，电抗与阻抗的概念十分接近但并不相同。
电感的电抗为$\omega L$,称为感抗，电容的电抗为$\frac{1}{\omega C}$,称为容抗，两者均为实数，单位为欧姆。
$$\omega =2\pi f$$$$X_C=\frac{1}{2\pi fC}$$$$X_L=2\pi fL$$
进行角速度和频率之间的转换，我们可以直观地看到，感抗与电感大小以及频率的增加成正比，容抗则与电容本身的大小和通过电容的信号频率成反比。中学时常说“电感通直流隔交流，电容通交流隔直流”。
电抗与阻抗地概念有所不同，阻抗是在电抗的基础上加入$j$因子，也就是电流与电压之间的相位关系。在这里再次总结如下：
$$Z_L=j{X}_L=j\omega L$$$$Z_C=j{X}_C=-j\frac{1}{\omega C}$$值得再次说明的是，电感会使电压超前于电流$\pi /2$，电容则会使电流超前于电压$\pi /2$。
当阻抗原件串联时，可以将它们的阻抗相加求出总阻抗。

导纳

导纳$Y$是阻抗$Z$的倒数，单位是西门子($S$)。
与电抗与阻抗之间的关系类似，电纳和导纳也是不同的概念。
电感和电容的电纳分辨是对应电抗的倒数：$$B_L=\frac{1}{\omega L}$$$$B_C=\omega C$$对应的，电感和电容的导纳分别为$-j{B}_L$和$j{B}_C$
值得注意的是，导纳是阻抗的复倒数，复倒数需要满足倒数的定义而不是将复数的实部和虚部分别取倒数得到的。对于极坐标表示的复数，求导数有很强的规律性：$\frac{1}{10\angle 10^{\circ }}=0.1\angle -10^{\circ }$

并联电路的导纳可以通过各个分支之间的导纳相加得到。

电路基本分析定律

0. 集总参数网络：网络中各个元件都被抽象成理想数学模型，忽略其他一切无关变量和环境因素。
1. 基尔霍夫电压定律（KVL）：在集总参数网络中，任意回路中的各支路电压总和恒等于0。理论基础是能量守恒定律。
2. 基尔霍夫电流定律（KCL）：在集总参数网络中，任意时刻，电路中任意节点上的各支路电流之和恒等于0。理论基础是电荷守恒定律。
3. 欧姆定律：略
4. 广义欧姆定律：欧姆定律适用于相量和阻抗之间的运算，即$$V=ZI$$

正弦稳态条件下的功率计算

取线性负载网络两端的电流、电压有以下表示：

1. 瞬时功率：
   $$p(t)=v(t)i(t)=I_m{V}_m\cos (\omega t+{\varphi }_i)\cos (\omega +{\varphi }_v)$$根据三角函数积化和差公式有$$p(t)=\frac{1}{2}{I}_m{V}_m[\cos ({\varphi }_i-{\varphi }_v)+\cos (2\omega t+{\varphi }_i+{\varphi }_v)]$$
2. 平均功率：
   对瞬时功率在一个周期内求均值，由于正弦函数的周期积分为0，有：
   $$P_{av}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}p(t)dt=\frac{I_m{V}_m}{2T}{\int }_0^T\cos ({\varphi }_i-{\varphi }_v)=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos ({\varphi }_i-{\varphi }_v)$$对于直流信号，${\varphi }_i={\varphi }_v=0$，平均功率表示为$\frac{1}{2}{V}_m{I}_m$。
3. 复功率
   对复功率取实部就可以得到平均功率。
   对于一个正弦波信号，均方根功率（有效值功率）可以表示为,其中$V,I$均为相量：$$P_{rms}=\frac{1}{2}VI$$对应复功率可以表示为$$P_{complex}=\frac{1}{2}V{I}^{\ast }=\frac{1}{2}{V}_m{e}^{j{\varphi }_v}{I}_m{e}^{-j{\varphi }_i}=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m{e}^{j({\varphi }_v-{\varphi }_i)}$$可以看到$$P_{av}=Re[P_{complex}]=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos ({\varphi }_v-{\varphi }_i)=V_{rms}{I}_{rms}\cos ({\varphi }_v-{\varphi }_i)$$

分贝

分贝是传输增益和相对功率的标准单位,分贝的实际意义是“功率比对数”而不是功率单位。
$$N(dB)=10lg(\frac{P_2}{P_1})$$
常说的-3dB点就是功率衰减为原来的$\frac{1}{2}$时的分贝值，即$$10lg(0.5)=-3.01$$注意：这里一定要区分模电中常用的$20lg(V_m)$计算分贝值的方法，$V_m$是正弦信号的最大幅值。当幅值达到最大的0.707时功率恰好衰减为原来的一半，因为电压与功率之间是平方关系，所以有$20lg(0.707)=-3.01$，这是一种从电压计算分贝值的“不规范”技巧。

分贝毫瓦

分贝毫瓦使用对数形式表示的功率单位，$dBmW=10lg(\frac{P}{1mW})$,也就是用分贝的计算方式对原有功率值进行取对数运算。

电压或电流增益

工程中常用分贝数来表示相对电压增益或相对电流增益，有：$$G(dB)=10lg(\frac{P_{out}}{P_{in}})=10lg(\frac{V_{out}}{V_{in}}{)}^2=20lg(\frac{V_{out}}{V_{in}})$$$$G(dB)=10lg(\frac{P_{out}}{P_{in}})=10lg(\frac{I_{out}}{I_{in}}{)}^2=20lg(\frac{I_{out}}{I_{in}})$$需要注意的是，在计算电压或电流增益时我们并不是真正在比较输出和输入端的功率，而是一个不涉及输入阻抗和输出阻抗大小的相对功率。

损耗比

损耗比是功率比对数（分贝）值的倒数，即$$L(dB)=10lg(\frac{V_{in}}{V_{out}})=-G(dB)$$在计算多级级联网络的总增益时只需要将各级的增益和损耗相加即可。

奈培

奈培定义为两个电流、电压或场强的比值的自然对数（ln），奈培是一个表示衰减的单位，但它是一个正数。如果电压从$V_1$衰减到$V_2$($V_1$>$V_2$)那么有$$N(Np)=-ln(\frac{V_2}{V_1})$$具体来说$1Np$的含义是指信号衰减为原来的$\frac{1}{e}$。

趋肤效应

设计电路时需要考虑的一个重要事项是高频下导体的有效阻抗会显著增大，这是由于趋肤效应导致的。趋肤效应是由接近导体表面的地方电流密度较大导致的。
电流密度与导体表面距离的关系可以表示为：
$$J=J_0{e}^{-z/{\delta }_S}$$趋肤深度表示为$${\delta }_S=\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu \sigma }}$$其中$\sigma$表示导体的电导率，$\mu =4\pi \times 10^{-7}H/m$是真空磁导率，趋肤效应与与导线的电感有关，并且随着信号频率的提高，趋肤深度会逐渐减小。我们进一步得到，当距离导体表面深度为趋肤深度${\delta }_S$时，电流密度衰减为导体表面电流密度$J_0$的$\frac{1}{e}=37\%$当十倍趋肤深度时（对于导体银或铜来说，这段厚度大约是1mil），电流密度将减少至其表面电流的1/22026。所以，高频信号基本是在导体表面传输。以直径为$D$的圆柱形导线为例，高频信号和直流信号可以分别表示为：
直观来说，由于趋肤深度${\delta }_S$非常小，所以高频信号的阻抗要远大于直流阻抗。