真值表和真值计算

最新推荐文章于 2025-09-20 07:46:13 发布

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#符号逻辑 #逻辑推理 #真值表 #数理逻辑

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基本真值表
基本语义的真值表刻画
简化真值表方法

基本真值表

从语法角度讲，联结词是“公式函数”，即从公式集合到公式集合的函数。也就是说，对于每个联结词，每当给出公式作为输入，这个联结词确定了唯一的公式作为输出。
真值函数是从真值集到真值集的函数，也即从{T,F}到{T,F}的函数。

基本真值表如下：
在这里插入图片描述
我们可以用如下规则进行记忆：

一个否定式是真的，当且仅当它否定的公式是假的;
一个合取式是真的，当且仅当它的合取支都是真的;
一个析取式是真的，当且仅当它的析取支中至少有一个是真的;
一个蕴涵式是真的，当且仅当它的前件是假的或后件是真的;
一个等值式是真的，当且仅当它的两个直接子公式的真值相同。

基本语义的真值表刻画

重言蕴含(重言后承)与重言等值

论说形式的有效性

论说形式的前提和结论的联合真值表称为论说形式的真值表。根据真值表，我们可以进行如下描述(“有效”对应“好”，“无效”对应“坏”)：

在一个论说形式的真值表中，前提都真而结论假的每一行，都称为该论说形式的反例。
对任何一个论说形式，如果其真值表的任何一行都不是该论说形式的反例，那么这个论说形式是有效的(valid); 否则，这个论说形式是无效的(invalid)。

比如：
在这里插入图片描述
由于第一行中，结论都为真，而结论为假，所以我们找到了这个论说形式的反例，所以论说形式是无效的。

重言蕴含

设 $\phi_1,\cdots,\phi_n$ 和 $\psi$ 为任意公式。

$\left\{\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right\}\left(\right.$ 或 $\left.\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right)$ 重言蕴含 $\psi\left(\left\{\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right\}\right.$ (tautologically
implies $\psi$ ) 当且仅当在 $\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}$ 与 $\psi$ 的联合真值表中，没有一行是 $\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}$ 都真而 $\psi$ 假, 亦即在它们的联合真值表的每一行中,如果 $\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}$ , 的真值都是 $\mathrm{T}$ , 那么 $\psi$ 的真值也一定是 $\mathrm{T}$ 。

$\psi$ 是 $\left\{\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right\}$