命题逻辑的基本概念

我们把 ${\mathcal{L}}_0$所有命题变号的集合记作 Pr，并且把命题编号依照下标的序 $p_0,p_1,p_2,\cdots$称为 Pr上的(或命题变号的)“字典顺序”或者“字母表”。

真值指派和公式真值

语言${\mathcal{L}}_0$的解释叫做 “真值指派”(truth valuation, truth assignment)。

一个真值指派(或赋值)是从Pr到{T,F}的函数$\sigma$，他对每个命题变号指派一个真值$\sigma (p)$。

其实也就是将一个基本命题映射到T或者F上。

真理定义：

对所有的${\mathcal{L}}_0$-公式$\varphi$，我们用${\varphi }^{\sigma }$表示$\varphi$在$\sigma$下的值。对于${\varphi }^{\sigma }$递归的定义如下：
p n σ = T  iff  σ ( p n ) = T ( n ⩾ 0 ) ( ∼ ψ ) σ = T  iff  ψ σ ≠ T (  即  ψ σ = F ) ( ψ ∨ χ ) σ = T  iff   或者  ψ σ = T  或者  χ σ = T ( ψ ∧ χ ) σ = T  iff  ψ σ = T  并且  χ σ = T ( ψ → χ ) σ = T  iff 或者  ψ σ ≠ T  或者  χ σ = T ( ψ ↔ χ ) σ = T  iff  ψ σ = χ σ \begin{aligned} &p_{n}^{\sigma}=\mathrm{T} \text { iff } \sigma\left(p_{n}\right)=\mathrm{T}(n \geqslant 0)\\ &(\sim \psi)^{\sigma}=\mathrm{T} \text { iff } \psi^{\sigma} \neq \mathrm{T} \quad\left(\text { 即 } \psi^{\sigma}=\mathrm{F}\right)\\ &(\psi \vee \chi)^{\sigma}=\mathrm{T} \quad \text { iff } \quad \text { 或者 } \psi^{\sigma}=\mathrm{T} \text { 或者 } \chi^{\sigma}=\mathrm{T}\\ &(\psi \wedge \chi)^{\sigma}=\mathrm{T} \text { iff } \psi^{\sigma}=\mathrm{T} \text { 并且 } \chi^{\sigma}=\mathrm{T}\\ &(\psi \rightarrow \chi)^{\sigma}=\mathrm{T} \text { iff 或者 } \psi^{\sigma} \neq \mathrm{T} \text { 或者 } \chi^{\sigma}=\mathrm{T}\\ &(\psi \leftrightarrow \chi)^{\sigma}=\mathrm{T} \text { iff } \psi^{\sigma}=\chi^{\sigma} \end{aligned} ​pnσ​=T iff σ(pn​)=T(n⩾0)(∼ψ)σ=T iff ψσ​=T( 即 ψσ=F)(ψ∨χ)σ=T iff  或者 ψσ=T 或者 χσ=T(ψ∧χ)σ=T iff ψσ=T 并且 χσ=T(ψ→χ)σ=T iff 或者 ψσ​=T 或者 χσ=T(ψ↔χ)σ=T iff ψσ</