左右和前后——叉积和点积

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向量的点积：(数量积）

假设向量u(ux, uy)和v(vx, vy)，u和v之间的夹角为α，从三角形的边角关系等式出发，可作出如下简单推导：

  |u - v||u - v| = |u||u| + |v||v| - 2|u||v|cosα   

===>
  
  （ux - vx）2 + (uy - vy)2  = ux2 + uy2 +vx2+vy2- 2|u||v|cosα 

===>
   
   -2uxvx - 2uyvy = -2|u||v|cosα

===>

   cosα = (uxvx + uyvy) / (|u||v|)

这样，就可以根据向量u和v的坐标值计算出它们之间的夹角。

定义u和v的点积运算： u . v = (uxvx + uyvy)，

上面的cosα可简写成： cosα = u . v / (|u||v|)

当u . v = 0时（即uxvx + uyvy = 0），向量u和v垂直；当u . v > 0时，u和v之间的夹角为锐角；当u . v < 0时，u和v之间的夹角为钝角。

可以将运算从2维推广到3维。



向量的叉积：

假设存在向量u(ux, uy, uz), v(vx, vy, vz), 求同时垂直于向量u, v的向量w(wx, wy, wz).

因为w与u垂直，同时w与v垂直，所以w . u = 0, w . v = 0; 即

uxwx + uywy + uzwz = 0;
vxwx + vywy + vzwz = 0;

分别削去方程组的wy和wx变量的系数，得到如下两个等价方程式：

(uxvy - uyvx)wx = (uyvz - uzvy)wz
(uxvy - uyvx)wy = (uzvx - uxvz)wz

于是向量w的一般解形式为：

w = (wx, wy, wz) = ((uyvz - uzvy)wz / (uxvy - uyvx), (uzvx - uxvz)wz / (uxvy - uyvx), wz)
  = (wz / (uxvy - uyvx) * (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx))

因为：

   ux(uyvz - uzvy) + uy(uzvx - uxvz) + uz(uxvy - uyvx)
 = uxuyvz - uxuzvy + uyuzvx - uyuxvz + uzuxvy - uzuyvx
 = (uxuyvz - uyuxvz) + (uyuzvx - uzuyvx) + (uzuxvy - uxuzvy)   
 = 0 + 0 + 0 = 0

   vx(uyvz - uzvy) + vy(uzvx - uxvz) + vz(uxvy - uyvx)   
 = vxuyvz - vxuzvy + vyuzvx - vyuxvz + vzuxvy - vzuyvx
 = (vxuyvz - vzuyvx) + (vyuzvx - vxuzvy) + (vzuxvy - vyuxvz)
 = 0 + 0 + 0 = 0

由此可知，向量(uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)是同时垂直于向量u和v的。

为此，定义向量u = (ux, uy, uz)和向量 v = (vx, vy, vz)的叉积运算为：u x v = (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)

上面计算的结果可简单概括为：向量u x v垂直于向量u和v。


根据叉积的定义，沿x坐标轴的向量i = (1, 0, 0)和沿y坐标轴的向量j = (0, 1, 0)的叉积为：

 i x j = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1) = k

同理可计算j x k:
 
 j x k = (0, 1, 0) x (0, 0, 1) = (1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 0 * 0) = (1, 0, 0) = i

以及k x i:

 k x i = (0, 0, 1) x (1, 0, 0) = (0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0) = (0, 1, 0) = j

由叉积的定义，可知：

 v x u = (vyuz - vzuy, vzux - vxuz, vxuy - vyux) = - (u x v)

 

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