2021牛客暑期多校训练营5 - B - Boxes ( 概率问题 )

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题目

题意

n 个盒子，每个盒子里面可能是白球也可能是黑球，概率 $\frac{1}{2}$，打开盒子的代价$w_i$，你有一些 hints 的机会，即每次花费 c 代价，知道剩下没有打开的盒子中还有多少个黑球。问知道所有盒子的球的颜色的最小成本的数学期望是什么？

思路

整体就是两种方法，一种就是我不做 hints 操作，我直接全开；另一种就是我做一次 hints 操作，然后再开 ( 只做一次就够了，做多了没用，因为你知道总球数，还知道黑色总球数目，同时每次开盒你还知道什么颜色，那么剩下的都有什么球你都是实时知道的，所以一次足以 ) 。
对于第一种操作，因为不做 hints 操作，那么我就不知道黑球白球各多少个，那我就不得不全开，代价就是全开的和。
对于第二种操作，因为你做了一次 hints 操作，所以你知道黑球的数量，那也就相当于知道了白球的数量，那么假如你开到某个盒子的时候，正好发现你已经开的盒子里的白球数（ 或黑球数 ）等于已知的总白球数（ 或总黑球数 ），那么你就知道了剩下的全是黑球（ 或全是白球 ），那么也就不用再开盒子了。所以这里牵扯到概率的问题。
最后的答案就是这两种方法取最小值。
对于第二种方法，我们要求最小的成本期望（ 由于是最小的成本期望，那花的越少越好呗，那我们肯定按价值从小到大来取，所以提前给价格排个序，接下来的下标都是排序后的下标 ），有两种思路；

思路一（ 我个人感觉这个好懂一点 ）：
假设我们打开第 i 个盒子的后，发现已经可以结束了，那么花费就应该是前 i 个盒子的代价和，概率就是：[ i +1 , n ] 都是一个颜色且这个颜色跟 i 的颜色不同的概率 -> 也就 i = 黑 && [ i + 1 , n ] = 白 与 i = 白 && [ i + 1 , n ] = 黑 的概率 和 -> i = 黑 && [ i + 1 , n ] = 白概率 $\frac{1}{2}\ast \frac{1}{2^{n-i}}$、 i = 白 && [ i + 1 , n ] = 黑的概率 $\frac{1}{2}\ast \frac{1}{2^{n-i}}$ -> 两者和为 $\frac{1}{2^{n-i}}$（ 这里为什么只考虑 [ i , n ] 的呢，因为我定义它在 i 结束，而它结束只取决于它后面的所有盒子的颜色与它自己的颜色，所以这个概率计算只会与 [ i , n ] 有关 ）
所以答案就是：
$ans=min({\sum }_{i=1}^{n}w[i],c+{\sum }_{i=0}^{n-1}(sum[i]\ast \frac{1}{2^{n-i}}))$
( i = 0 就是全黑 ( 或全白 ) ，i 不取 n 是因为，我们最多取 n - 1 个，我们就一定可以知道最后一个是啥 )

思路二：
上面的思路计算的其实就是 [ 1 , i ] 可以被取到的概率，而思路二计算的是每个盒子被开到的概率。对于盒子 i ，要是不能被取到，那么根据第一个思路，它多半是在最后的那段全黑或者全白里面，那么它 能被取到的概率 = 1 - 不能被取到的概率， 不能被取到的概率就是 [ i , n ] 全黑 或 全白 的概率 和 $\frac{2}{2^{n-i+1}}$=$\frac{1}{2^{n-i}}$ ( 只考虑 [ i , n ] ?，因为只要我保证 [ i , n ] 是全黑或全白，那么前面不管是什么颜色，i 绝不会被取到 )，那么能被取到的概率就是$1-\frac{1}{2^{n-i}}$
所以答案就是：
$ans=min({\sum }_{i=1}^{n}w[i],c+{\sum }_{i=1}^n(w[i]\ast (1-\frac{1}{2^{n-i}})))$

代码1（ 思路1 ）

//#pragma GCC optimize(3)//O3
//#pragma GCC optimize(2)//O2
#include<iostream>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
//#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<fstream>
#define X first
#define Y second
#define best 131 
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x & -x
#define inf 0x3f3f3f3f
// #define int long long
//#define double long double
//#define rep(i,x,y) for(register int i = x; i <= y;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double pai=acos(-1.0);
const int maxn=1e5+10;
// const int mod=998244353;
const double eps=1e-9;
const int N=5e3+10;
/*--------------------------------------------*/
inline int read()
{
    int k = 0, f = 1 ;
    char c = getchar() ;
    while(!isdigit(c)){if(c == '-') f = -1 ;c = getchar() ;}
    while(isdigit(c)) k = (k << 1) + (k << 3) + c - 48 ,c = getchar() ;
    return k * f ;
}
/*--------------------------------------------*/

int n;
double c,w[maxn],ans1,ans2,sum[maxn];

int main() 
{
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i],ans1+=w[i];
	sort(w+1,w+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+w[i];
	for(int i=0;i<=n-1;i++)
		ans2+=sum[i]*(1.0/pow(2,n-i));
	printf("%.6lf",min(ans1,c+ans2));
    return 0;
} 

代码2（ 思路2 ）

//#pragma GCC optimize(3)//O3
//#pragma GCC optimize(2)//O2
#include<iostream>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
//#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<fstream>
#define X first
#define Y second
#define best 131 
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x & -x
#define inf 0x3f3f3f3f
// #define int long long
//#define double long double
//#define rep(i,x,y) for(register int i = x; i <= y;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double pai=acos(-1.0);
const int maxn=1e5+10;
// const int mod=998244353;
const double eps=1e-9;
const int N=5e3+10;
/*--------------------------------------------*/
inline int read()
{
    int k = 0, f = 1 ;
    char c = getchar() ;
    while(!isdigit(c)){if(c == '-') f = -1 ;c = getchar() ;}
    while(isdigit(c)) k = (k << 1) + (k << 3) + c - 48 ,c = getchar() ;
    return k * f ;
}
/*--------------------------------------------*/

int n;
double c,w[maxn],ans1,ans2;

int main() 
{
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i],ans1+=w[i];
	sort(w+1,w+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans2+=w[i]*(1-1.0/pow(2,n-i));
	printf("%.6lf",min(ans1,c+ans2));
    return 0;
}