CodeForces - 1420D - Rescue Nibel! -（差分 + 组合数学）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Cosmic_Tree/article/details/117202099

该博客主要探讨了一种计算在给定区间集合中选择k个有公共交集的区间组合数量的方法。首先对区间进行离散化和排序，然后使用差分数组记录每个区间前有多少个有交集的区间，并利用组合数学中的组合公式C(n, k-1)计算答案。最终通过遍历排序后的区间，动态更新组合计数，得出所有可能的选择方案总数。

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题目

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题意

n 个区间，每次选 k 个有公共交集的区间，问有多少种选择方案

思路

将区间离散化处理，同时按照左端点排序，差分判断每个区间前有多少个有公共交集的区间 ( sum ) ，每遇到一个区间的左端点，就计入一下答案 C（ sum , k - 1 ）( k - 1 是因为确定这个区间是一定选择的，在它之前再选 k - 1 个，这样可以避免重复问题 )

代码

//#pragma GCC optimize(3)//O3
//#pragma GCC optimize(2)//O2
#include<iostream>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
//#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<fstream>
#define X first
#define Y second
#define best 131 
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x & -x
#define inf 0x3f3f3f3f
#define int long long
//#define double long double
//#define max(a,b) a>b?a:b
//#define min(a,b) a<b?a:b
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double pai=acos(-1.0);
const int maxn=1e6+10;
const int mod=998244353;
const int Mod=1e9+10;
const double eps=1e-9;
const int N=1e6+10;
int n,m,f[maxn],inv[maxn],k;
bool vis[maxn];
struct node
{
	int p;
	int f;
};
vector<node>v;
bool cmp(node x,node y)
{
	if(x.p==y.p) return x.f<y.f;
	else return x.p<y.p; 
}
int qpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) res=res*a%mod;
		b=b>>1;
		a=a*a%mod;
	}
	return res;
}
void init()
{
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<maxn;i++)
		f[i]=f[i-1]*i%mod;
	inv[maxn-1]=qpow(f[maxn-1],mod-2);
	for(int i=maxn-2;i>=0;i--)
		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int c(int n,int m)
{
	if(n<m) return 0;
	return f[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
signed main()
{	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	init();
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int l,r;
		cin>>l>>r;
		v.push_back({l,1});
		v.push_back({r+1,-1});
	}
	sort(v.begin(),v.end(),cmp);
	int ans=0,sum=0;
	for(auto t:v)
	{
		if(t.f==1) ans=(ans+c(sum,k-1))%mod;
		sum+=t.f;
	}
	cout<<ans<<endl;
    return 0;
}