“八皇后问题”解题思路与 C 语言代码实现

简介

“八皇后问题”是一个经典的算法问题，也是回溯算法的典型应用案例。它的目标是在一个8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不能互相攻击，即不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

问题背景

• 提出：由德国数学家马克斯·贝瑟尔于 1848 年提出，后经高斯等数学家研究。
• 解的数量：高斯最初认为有 76 种解，后来通过图论方法确定共有 92 种不同的摆放方式。
• 扩展：该问题可推广为“n皇后问题”，即在n×n的棋盘上放置n个皇后，当n≥4时存在解。

解题思路

• 回溯算法：通过逐行放置皇后，并在每一步检查是否与已放置的皇后冲突。若冲突则回溯（撤销当前选择），尝试其他位置。
• 关键条件：
  1. 同一列不能有多个皇后。
  2. 同一斜线（斜率为±1）不能有多个皇后。
• 优化方法：使用位运算、对称性剪枝等技术减少计算量，例如利用位掩码表示列和对角线的占用情况。

C 语言代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_QUEENS 8
int queen[MAX_QUEENS] = {-1};  // 记录每行皇后的列位置，初始化为-1
int count = 0;                 // 解的总数

// 检查当前位置(row, col)是否安全
int is_safe(int row, int col) 
{
    for (int i = 0; i < row; i++) 
    {
        // 同一列或同一斜线
        if (queen[i] == col || abs(queen[i] - col) == row - i) 
        {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

// 回溯函数，从第row行开始放置皇后
void backtrack(int row) 
{
    if (row == MAX_QUEENS) 
    {  // 找到一个解
        printf("Solution %d:\n", ++count);
        for (int i = 0; i < MAX_QUEENS; i++) 
        {
            for (int j = 0; j < MAX_QUEENS; j++) 
            {
                if (queen[i] == j) 
                {
                    printf("Q ");
                } 
                else 
                {
                    printf("* ");
                }
            }
            printf("\n");
        }
        printf("\n");
        return;
    }

    // 尝试每一列
    for (int col = 0; col < MAX_QUEENS; col++)
     {
        if (is_safe(row, col))
         {
            queen[row] = col;  // 放置皇后
            backtrack(row + 1);  // 递归下一行
            queen[row] = -1;  // 回溯，撤销当前位置
        }
    }
}

int main() 
{
    backtrack(0);
    printf("Total solutions: %d\n", count);
    return 0;
}

应用与意义

• 算法教学：常用于理解回溯、递归和剪枝策略。
• 问题扩展：启发类似布局优化问题，如资源调度、路径规划等。
• 计算挑战：早期被用于测试计算机性能，如今仍是算法研究的经典案例。

如果需要更深入的实现细节或优化方法，大家可以一起探讨哦！

附上输出结果：

Solution 1:
Q * * * * * * * 
* * * * Q * * * 
* * * * * * * Q 
* * * * * Q * * 
* * Q * * * * * 
* * * * * * Q * 
* Q * * * * * * 
* * * Q * * * * 

Solution 2:
Q * * * * * * * 
* * * * * Q * * 
* * * * * * * Q 
* * Q * * * * * 
* * * * * * Q * 
* * * Q * * * * 
* Q * * * * * * 
* * * * Q * * * 

...

Solution 92:
* * * * Q * * * 
* * Q * * * * * 
* * * * * * Q * 
Q * * * * * * * 
* * * * * Q * * 
* * * * * * * Q 
* Q * * * * * * 
* * * Q * * * * 

Total solutions: 92