笔记：数据结构——第四章 串

第四章 串

4.1 串

• 串，即字符串（String）是由零个或多个字符组成的有限序列

  例如：S=“Hello World！”；有的地方用双引号（Java、C）；有地方用单引号（Python）

• 子串——任意个连续的字符组成；主串——包含子串的串

  空串——无字符；空格串——字符是空格，每个空格字符占1 B

  字符在主串中的位置：字符在串中的序号；子串在主串中的位置：子串的第一个字符在串中的序号

  （注意：序号是从1开始，而不是0开始）

• 串 VS 线性表：

  串是一种特殊的线性表，数据元素之间呈现线性关系

  串的数据对象：字符集（如中文字符、英文字符、数字字符、标点字符等）

  串的基本操作：通常以子串为操作对象，如增删改查；Index(S,T)——定位操作；StrCompare (S,T)——比较操作

• 串的比较操作：先出现更大的符号的串更大（ASCII码：小写字母97>大写字母65）；长串前缀与短串相同时，长串更大

• 拓展——乱码问题：在文件中，原本采用的是一套编码规则；打开文件时，软件以为采用的是另一套编码规则

4.1.2 串的存储结构

*串的顺序存储

• 静态数组实现——定长顺序存储（函数执行结束后，系统自动回收）

  动态数组实现——堆分配存储（用完需要手动free）

#define MAXLEN 255
typedef struct{
    char ch[MAXLEN];
    int length;
}SString;

typedef struct{
    char *ch;
    int length;
}HString;

• 保存字符串的长度数据

  1. 方案一：变量length放在数组的末尾

  2. 方案二：变量length放在数组的开头ch[0]

     优点：字符的位序和数组下标相同；缺点：ch[0]为char型，只能放下1B=8bit，表示范围0-255

  3. 方案三：没有length变量，以符号’\0’表示结尾（对应ASCII码的0）

     方法：遍历到’\0’计算length，适用于不常访问字符串长度的情况

  4. 方案四：ch[0]废弃不用，末尾声明变量length（结合方案一、二）

*串的链式存储

• 存储密度低：在32位计算机中，一个char占 1 B，但一个指针占4B即32个字节bit
• 让每个结点存放多个字节，来增加存储密度；存不满的字节可以用#填充

typedef strut StringNode{
    char ch;
    struct StringNode *next;
}StringNode,*String;

typedef strut StringNode{
    char ch[4];						//每个结点存放多个字符
    struct StringNode *next;
}StringNode,*String;

*顺序串——求子串

• （方案四的存储方式）求子串：用Sub返回串S第pos个字符起长度为len的子串

#define MAXLEN 255
typedef struct{
    char ch[MAXLEN];
    int length;
}SString;

bool SubString(SString &Sub,SString S,int pos,in len){
    if(pos+len-1>S.length)
        return false;
    for(int i=pos;i<pos+len;i++)
        Sub.ch[i-pos+1]=S.ch[i];	//此时子串的位置为i-pos+1
    Sub.length=len;
    return true;
}

*顺序串——比较操作

• 比较操作：若S>T，则返回值>0；若S=T，则返回值为0；若S<T，则返回值<0,

int StrCompare(SString S，SString T){
    for(i=1;i<=SString S&&i<=SString T;i++){	//此处结束长度为两串中较短的
        if(S.ch[i]!=T.ch[i])
            return S.ch[i]-T.ch[i];		//扫描过程，return为直接将值相减
    }
    return S.length-T.length;			//扫描结束，长度较长的更大
}

*顺序串——定位操作

• 定位操作：设主串S中存在子串T；返回字串第一次出现的位置，否则返回0

int Index(SString S,SString T){
    int i=1,n=StringLength(S),m=StringLength(T);
    SString sub;
    while(i<=n-m+1){					//前面定义i初始为1，所以+1
        SubString(Sub,S,i,m);			//i初始必为1，在主串里取一个长度相同的子串
        if(StrCompare(sub,T)!=0)		//比较两个子串是否一样
            i++;						//不一样就后移继续比较
        else
            return i;					//一样就返回子串位置
    }
    return 0;							//全部比较，没有相等子串
}

4.2 串的模式匹配

4.2.1 串的朴素模式匹配算法

• 子串：一定是主串中存在的才叫“子串”；模式串：想尝试在主串中找到的串，未必存在

• 串的模式匹配：在主串中找到与模式串相同的子串，并返回其所在位置

*朴素模式匹配算法

• 与定位操作相似，但只要有一个字符不同就可以停止检查当前子串

• 时间复杂度为O(nm)；n远大于m

int Index(SSring S,SString T){
    int k=1;							//k为检查子串在主串的位置
    int i=k;j=1;						//i为检查子串的检查字符的位置，j为子串检查字符的位置
    while(i<=S.length&&i<=T.length){
        if(S.ch[i]==T.ch[j]){
            i++;
            j++;
        }else{
            k++;
            i=k;
            j=1;
        }
    }
    if(j>T.length)						//循环结束是因为子串匹配成功
        return k;
    else								//循环结束是因为子串到末尾也没匹配到
        return 0;
}

//方法二：不设置变量k
int Index(SSring S,SString T){						
    int i=1;j=1;						
    while(i<=S.length&&i<=T.length){
        if(S.ch[i]==T.ch[j]){
            i++;
            j++;
        }else{
            i=i-j+2;					//i-(j-1)+1; j-1子串扫描过的,+1后移一位
            j=1;
        }
    }
    if(j>T.length)						
        return i-T.length;				//返回第一个字符的位置
    else
        return 0;
}

4.2.2 KMP算法（上）

• 模式串指针回溯位置——int next[7]

• 例如：g o o g l e

  当j=k且发现字符不匹配是，令j=next[k]；若当前两字符匹配，i++，j++；

  若j=1时发生不匹配，则应让j回到0，i++，j++（让i++，j依旧为1）；若j=2时发生不匹配，则应让j回到1；

  若j=3时发生不匹配，则应让j回到1；若j=4时发生不匹配，则应让j回到1;

  若j=5时发生不匹配，则应让j回到2；若j=6时发生不匹配，则应让j回到1

*KMP算法代码

int Index_KMP(SString S,SString T,int next[]){
    int i=1,j=1;
    while(i<=S.length||j<=T.length){
        if(j==0||S.ch[i]==T.ch[j]){		//如果从0开始，为i-1、j-1
            i++;
            j++;						//初始时或匹配，继续往后比较
        }else{
            j=next[j];					//不匹配，模式串向右移动
        }
        if(j>T.length)
            return i-T.length;
        else
            return 0;
    }
}

4.2.3 KMP算法（下）

*求next数组

• 串的前缀：包含第一个字符，且不包含最后一个字符的子串

  串的后缀：包含最后一个字符，且不包含第一个字符的子串

• 当第j个字符匹配失败，由前1~j-1个字符组成的串记为S，则next[j-1]=S的最长相等前后缀长度+1

  特别地，next[1]=0；且next[2]=1，前后缀无相等next[x]=1（0+1）

• 时间复杂度为O(m+n)

void get_next(SString T,int next[]){
    int i=1,j=0;
    next[1]=0;
    while(i<T.length){
        if(j==0||T.ch[i]==T.ch[j]){
            i++;
            j++;
            next[i]=j;
        }else
            j=next[j];
    }
}

int Index_KMP(SString S,SString T){
    int i=1,j=1;
    int next[T.length+1];				//next[0]为空才能对应
    get_next(T,next);					//时间复杂度为O(n)
    while(i<=S.length||j<=T.length){	//时间复杂度为O(m)
        if(j==0||S.ch[i]==T.ch[j]){
            i++;
            j++;						
        }else{
            j=next[j];					
        }
        if(j>T.length)
            return i-T.length;
        else
            return 0;
    }
}

4.2.4 KMP算法的优化

• next[j]的优化：当子串和模式串不匹配时j=nextval[j]

  思路：如果next回溯的字符和此字符相同，可将回溯字符的next给此字符：

*求nextval数组

//先算出next数组，先令nextval[1]=0
for（int j=2;j<=T.length;j++){
    if(T.ch[next[j]]==T.ch[j])
        nextval[j]=nextval[next[j]];
    else
        nextval[j]=next[j];
}

补充：广义表

• 广义表（列表Lists）是n>=0个元素的有限序列，其中每一个元素或者是原子，或者是一个广义表；例如 LS=（a 1，a 2, … ，an）

• 其中：LS为表名，n为表的长度，每一个a i为表的元素；习惯上，一般用大写字母表示广义表，小写字母表示原子

• 表头：若LS非空（n>=1），则其第一个元素就是表头；记作head（LS）=a 1；注意：表头可以是原子，也可以是表子

  表尾：除表头之外的其他元素组成的表；记作tail（LS）=（a 2，a 3，…，an）；注意：表尾不是一个元素，而是一个子表；例如：A=（x，y，z） 长度为3，表头为x，表尾为（y，z）；每一项都是原子

  B=（（）） 长度为1，表头、表尾均为（）；代表一个空子表

  C=（a，（b，c）） 长度为2，表头为a，表尾为（（b，c））；由原子a和子表（b，c）组成

  D=（a，D） 长度为2，表头为a，表尾为（D）；由原子a和它本身组成

• 广义表的性质：

  1. 具有相对次序，一个直接前驱和一个直接后继
  2. 广义表的长度定义为最外层所包含元素的个数
  3. 广义表的深度为该广义表展开后所含括号的重数；注意：“原子”的深度为0，“空表”的深度为1
  4. 广义表可以为其他广义表共享，通过名称来引用
  5. 广义表也可以是一个递归的表；注意：递归表的深度是无穷值，长度是有限值
  6. 广义表是多层次结构，元素可以是单元素，也可以是子表；可以用图形象的表示

• 广义表和线性表的区别：广义表是线性表的推广，线性表是广义表的特例；广义表可以兼容线性表、数组、树和有向图等常用数据结构

• 广义表的基本运算

  1. 求表头：可以是第一个元素，也可以是第一个表
  2. 求表尾：一定是一个表