线性变换之维数公式(秩-零化度定理)

ComputerInBook

已于 2025-06-28 17:54:09 修改

阅读量645

点赞数 20

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数学与应用数学文章标签：算法线性代数零空间零化度维数公式线性变换

于 2025-06-28 17:30:01 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ComputerInBook/article/details/148978824

数学与应用数学专栏收录该内容

141 篇文章

订阅专栏

秩数-零化度定理(rank-nullity theorem)

1. (映射)零空间(线性映射或变换的核)(null-space或nullspace)

2. 跨度(或开度)(span)

3. (线性映射的)零化度(nullity)

4. 线性变换的维数公式(秩数-零化度定理)(rank-nullity theorem)

5. 函数的上域(codomain)

1. (映射)零空间(线性映射或变换的核)(null-space或nullspace)

与行空间和列空间一样，矩阵的映射零空间是矩阵中的另一个基本空间，是所有在对其应用变换后结果为零的这些向量的集合。

(映射)零空间(null-space)定义: 一个 m ×n 矩阵A 是满足(齐性方程) AX = 0 的所有方程解的集合，它是 $\mathbb{R}^{n}$ ( n 维实坐标向量空间) 的子空间。如果用 Nul A 表示零空间，则零空间可以用集合表示为

$\text{Nul}\;A = \{ X\in \mathbb{R}^{n} | AX = 0 \}$ 。映射零空间又称为线性映射的核(kernel),因为其决定了这个线性映射的性质。

例1：

$A = \begin{bmatrix} 1&0&3&5 \\0&1&4&6 \end{bmatrix}$ 对应齐性(所有项都含有待解未知数这个共同属性)线性方程组

$\begin{bmatrix} 1&0&3&5 \\0&1&4&6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2} \\x_{3}\\x_{4} \end{bmatrix}=0$ 。

不难求得其两个“特解”，其中， $x_{3}$ 和 $x_{4}$ 为 1 和 0 或 0 和 1 。

设 $x_{3}=1$ 和 $x_{4}=0$ ，方程1 得到 $x_{1}=-3$ ，方程 2 得到 $x_{2}=-4$ 。

设 $x_{3}=0$ 和 $x_{4}=1$ ，方程1 得到 $x_{1}=-5$ ，方程 2 得到 $x_{2}=-6$ 。

这两个特解(special solution) $s_{1} = (-3,-4,1,0)$ 和 $s_{2} = (-5,-6,1,0)$ 位于 A 的零空间中。因为 $As_{1} = 0$ 和 $As_{2} = 0$ 。 这两个解的任意线性组合也位于矩阵A 的零空间中。矩阵 A 乘以向量 $x= c_{1} s_{1} + c_{2}s_{2}$ 产生0 。因此，这两个解向量 $s_{1}$ 和 $s_{2}$ 零空间的一个基(由两个线性无关的向量组成)。

2. 跨度(或开度)(span)

(注：span在用作动词时表示“张成，生成”，用作名词时表示“开度，跨度”。)

跨度(span)描述的是某些已知向量的线性组合可达的空间。在线性代数中，向量集的跨度是这些向量所有可能的线性组合的集合。在本质上，它是这些向量通过缩放和加法可以到达的“空间”。如果你取某个向量集的所有可能的线性组合，最终得到的向量集就集合这个集合的跨度。理解跨度对于掌握线性代数中更高级的概念(例如线性独立性、基和子空间)至关重要。

线性跨度之定义：令 S 为一个线性空间，并令 $x_{1} ,..., x_{n} \in S$ 为 n 个向量，则向量 $x_{1} ,..., x_{n}$ 的线性跨度 $\text{span}(x_{1} ,..., x_{n})$ 为所有线性组合 $x = a_{1} x_{1} + ...+ a_{n} x_{n}$ 的集合，可以通过任意选 n 个标量 $a_{1} ,..., a_{n}$ 获得。