向量关于基的坐标向量

1.  向量关于基的坐标向量之定义

坐标向量表示基于特定基向量的向量。它是一个有序的数字列表，表明如何组合基向量以获得原始向量。在本质上，它是一种使用选定坐标系来表达向量的方法。

(1) 基(底)向量

向量空间的基(底)(basis)是一组线性无关的向量，它们可以通过线性组合生成该空间中的任何其他向量。例如，在二维平面中，标准基向量通常为 (1, 0) 和 (0, 1)，通常分别表示为 i 和 j 。

(2) 坐标向量表示(由坐标构成的向量)

    已知一个向量 v 和一个基   (  是向量 ) ，则 v 关于这个基的坐标向量    (   是向量的分量)表示为

  ，

其中，系数   是坐标，即坐标向量的分量。

2.  例子

考虑二维平面中的向量 v = (3, 5)，我们使用标准基 { i , j }。则 v 关于标准基 {i , j} 的坐标向量表示为 X = 3i + 5j 。

3.  意义

    坐标向量使我们能够更方便地处理向量，尤其是处理非标准Euclid空间(例如多项式或矩阵空间)的向量空间。它们在抽象向量空间和我们熟悉的 n 元实数(或复数)领域之间架起了一座桥梁。