Riemann 积分的局限性和 Lebesgue 积分的出现

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于 2025-06-18 23:51:56 发布

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分类专栏：数学与应用数学文章标签：算法积分 Riemann积分测度论 Lebesgue积分 Lebesgue测度

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Riemann积分的局限性和Lebesgue积分的出现

1. 一些基本概念

1.1 有界函数(bounded functions)

1.2 瑕积分(反常积分或广义积分)(Improper integral)

1.3 摆幅(间距或跨度)(Oscillation)

1.4 微积分基本定理(The Fundamental Theorem of Calculus)(简记为FTC)

1.5 可数集(A countable set)

1.7 Volterra[voultέəra:] 函数

1.8 完备集

1.8 Smith–Volterra–Cantor集(SVC)

2. Riemann 积分

2.1 Riemann积分的存在性(Existence)

3.2.5 Lebesgue 外测度(exterior measure)

3.2.6 Lebesgue 内测度(inner measure)

1. 一些基本概念

1.1 有界函数(bounded functions)

在数学中，对于定义在某个集合 X 上具有实数值或复数值的函数 f ，若其值(或像)之集合是有界的。换言之，存在一个实数 M 使得对于 X 中的所有 x 都有

| f (x)| ≤ M ，

则称此函数是此定义域内的有界函数。非有界函数称为无界函数。

1.2 瑕积分(反常积分或广义积分)(Improper integral)

瑕积分定义：如果被积分的函数或积分区间无界，则积分是瑕积分。

Riemann积分定义的一个缺点是，它仅适用于有限区间上的有界函数。Riemann显然非常关心这个问题，因为他在给出定义后，立即解释了如何处理无界函数的积分。今天我们称之为瑕积分(反常积分或广义积分)。

严格来说，在这种情况下Riemann积分并不存在。然而，通过取Riemann可积积分的极限，可以赋予这样的积分一个值。例如，对于以下无界积分

$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{1}{|x|^{1/2}}$ ，

被积函数 $\frac{1}{|x|^{1/2}}$ 在 x = 0 处是不连续的，其函数图像如下图所示：

我们在函数有界的区间上求积分，然后当端点接近垂直渐近线的点时取这些值的极限：

$\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{|x|^{1/2}}&= \displaystyle \lim_{\epsilon_{1} \rightarrow 0^{-}}{\int_{-1}^{\epsilon_{1}}{\frac{dx}{|x|^{1/2}}}}+\lim_{\epsilon_{2} \rightarrow 0^{+}}{\int_{\epsilon_{2}}^{1}{\frac{dx}{|x|^{1/2}}}} \\\\ &= \displaystyle \lim_{\epsilon_{1} \rightarrow 0^{-}}{(-2|x|^{1/2})\bigg |_{-1}^{\epsilon_{1}}}+\lim_{\epsilon_{2} \rightarrow 0^{+}}{(2x^{1/2})\bigg |_{\epsilon_{2}}^{1}} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\epsilon_{1} \rightarrow 0^{-}}{(-2|\epsilon_{1}|^{1/2}+2)}+\lim_{\epsilon_{2} \rightarrow 0^{+}}{(2-{\epsilon_{2}}^{1/2})} \\ \\ &=4 \end{array}$ 。

正如Riemann煞费苦心地指出的那样，存在反导数(译注：即其原函数存在)并不能保证瑕积分也存在。当存在多个极限时，它们必须独立取值。例如，1/x 的反导数是 $\ln{x}$ ，而 $\ln{|x|}-\ln{|-1|}=0-0=0$ ，但是

$\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}&= \displaystyle \lim_{\epsilon_{1} \rightarrow 0^{-}}{\int_{-1}^{\epsilon_{1}}{\frac{dx}{x}}}+\lim_{\epsilon_{2} \rightarrow 0^{+}}{\int_{\epsilon_{2}}^{1}{\frac{dx}{x}}} \\\\ &= \displaystyle \lim_{\epsilon_{1} \rightarrow 0^{-}}{(\ln{|x|})\bigg |_{-1}^{\epsilon_{1}}}+\lim_{\epsilon_{2} \rightarrow 0^{+}}{(\ln{|x|})\bigg |_{\epsilon_{2}}^{1}} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\epsilon_{1} \rightarrow 0^{-}}{|\epsilon_{1}|}+\lim_{\epsilon_{2} \rightarrow 0^{+}}{|\epsilon_{2}|} \\ \\ \end{array}$ 。

由于两个极限都不是有限的，因此该函数在 [-1, 1] 上不可积。

1.3 摆幅(间距或跨度)(Oscillation)

(译注：注意，这个单词 oscillation 在这里与物理上的“振荡”没有关系，在另外一些书上会使用span来表示这种意义，这个词可能更合适一些。)

令 f 为一个实函数且在闭区间 [a ,b] 上连续，并令 M( f ) 和m( f ) 分别表示 f 在 [a ,b] 上的最大值和最小值。我们称其差值

M( f ) - m( f )

为 f 在区间 [a ,b] 上的摆幅(oscillation)。

1.4 微积分基本定理(The Fundamental Theorem of Calculus)(简记为FTC)

微积分基本定理在本质上只是对理解积分的两种方式的等价性表述：积分是微分的逆过程，以及积分是乘积之和的极限(译注：即函数与分割区间长度之积)。如今，该名称(designation)(译注：指积分基本定理)所指的精确定理源于积分被定义为极限过程的假设(译注：即，假设这个极限存在)。这些定理阐明了积分与微分之间的精确关系。我们将要使用的实际表述由以下定理给出。

定理 1.4.1(FTC)(第一部分，反导数(原函数)) 设函数 f为闭区间 [a , b] 上连续的实函数，而对于任意 x∈[a , b]，实函数F(x) 定义为

$\displaystyle F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$ 。

则函数 F(x) 在 [a , b] 上一致连续，且在开区间 (a , b) 上可微，其微分为

$\displaystyle \frac{dF(x)}{dx}=f(x)$ 。

推论基本定理通常用于计算原函数(反导数) F(x) 已知的情况下的定积分，特别是

若 f 为闭区间 [a , b] 上连续的实函数，且F(x) 为 f 在闭区间 [a , b] 上的反导数。则有

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ 。

此推论假设函数 f 在整个区间上是连续的。此推论在下列定量中条件得到了加强。

定理 1.4.2 (FTC,第二部分)(Newton-Leibniz公式) 设函数 f 是定义于闭区间 [a , b] 上的实函数，而设函数 F(x)是闭区间上[a , b] 上的连续实函数，且在开区间 (a , b) 上有 $\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$ 。。若函数 f 在 [a , b] 上在 Riemann 积分的意义上可积，则有

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ 。

注意，这部分并没有要求函数 f 在区间上连续。

第一个定理表明，定积分可以用来构造不定积分，即 f 从 a 到 x 的定积分是关于 x 的函数，其导数为 f 。第二个定理告诉我们如何利用任何不定积分来简单地求定积分。它们的意义和重要性源于一个假设： $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 定义为求和的极限。

1.5 可数集(A countable set)

1.5.1 定义

可数集是指其元素可以与自然数集(1,2,3……)一一对应的集合。这意味着你可以从 1 开始，以序列的方式逐个列出该集合的所有元素，甚至可能无限地排列。简单来说，如果对于一个集合的元素，不管是其数量是有限还是无限，都可以在不遗漏任何元素的情况下对其进行计数，则该集合是可数的。

1.5.2 关键特征

(1) 有限集

具有有限个元素的集合始终是可数的，因为你可以简单地列出其所有元素。

(2) 可数无限集

能与自然数一一对应的集合称为可数无限集合。这意味着它具有与自然数相同的“基数”(大小)。

1.5.3 举例

所有偶数(2, 4, 6 , 8……)的集合是可数无限集，因为你可以将每个偶数与相应的自然数配对(2 与 1, 4 与 2，等等)。

并非所有无限集都是可数的，例如，所有实数集是不可数的,没有办法列出其成员。它们绝称不可数集。

1.6 测度(Mearsure)

1.6.1 定义

在集合论中，测度是一种函数，它将一个非负数(包括无穷大)赋给集合中的某些子集，以量化它们的“大小”或“范围”。可以将其视为长度、面积或体积等概念的泛化。

测度将长度(用于线上的间距)，面积(用于平面中的区域)和体积(用于空间中的区域)等熟悉的概念扩展到更一般的集合。

测度可以理解为一种以集合为输入并以非负实数(或无穷大)为输出的函数。

测度满足某些属性，其中最重要的是，脱离集合的并集的测度是它们各个测度之和(可数可加性)。

1.6.2 例子

(1) 长度：区间 [a, b] 的长度等于 b - a。

(2) 面积：矩形的面积等于长乘以宽。

(3) 体积：立方体的体积等于边长的立方。

(4) 概率测度：在概率论中，测度用于为事件(样本空间的子集)分配概率。

(5) Lebesgue测度：一种用于为Euclid空间的子集分配“大小”(长度，面积，体积等)的特定测度，在实分析中尤为重要。

1.6.3 内测度和外测度

(1) 说明

在测度论中，集合的内测度(inner measure)(在使用Lebesgue测度时表示为 $\mu_{*}(A)$ (注：在希腊字母中其大写为Μ ) 或 $m_{*}(A)$ 是一种从内部量化集合“大小”的方法(注：其实这个记法中的 m或μ 即可以看成是单词measure的首字母，也可以看成是magnitude(大小)的首字母)。它本质上是给定集合中包含的所有闭集测度的上确界(最小上界)。直观地说，它提供了集合“大小”的下界，而外测度(包含给定集合的集合测度的下确界)提供了集合的上界。

内测度的概念对于定义Lebesgue可测集和理解Lebesgue测度的性质至关重要。它有助于确定哪些集合可以有意义地分配测度。

(2) 内测度之定义：对于测度空间的一个集合A ，其内测度 $\mu_{*}(A)$ 定义为：

$\mu_{*}(A)$ = sup{ μ (F ): F ⊆ A 且 F 是闭集 }。

其中，μ 是问题中的测度，F 是一个闭集。

在直观上，想象一下，尝试仅使用一些封闭的小岛来测量湖泊的面积。你可以求出完全位于湖内的最大岛屿的面积，然后是第二大岛屿的面积，依此类推。内测度值是所有此类岛屿面积总和的上确界(最小上界)。

(3) 外测度之定义：

$\mu_{}^{*}(A)$ = inf{ μ (G ): A ⊆ G 且 G 是开集 }。

如果一个集的内外测度重合，即 $\mu_{*}=\mu_{}^{*}$ ，测这个集合视为可测。

1.7 Volterra[voultέəra:] 函数

Volterra函数以Vito Volterra 的名字命名，是一个定义在实数轴上的实函数，具有以下不寻常的性质：它在处处可微(有导数)，其导数在处处有界，但其导数不是Riemann可积的(间断点无限)。

尽管Volterra函数的导数有界，但它的导数不能用标准Riemann积分来积分。这意味着导数曲线下的面积无法用标准方法计算。

Volterra函数通常是在类Cantor集上构建的，其中导数定义为在特定区间内具有较大的振荡(oscillations)。这些振荡使得导数无法满足Riemann可积性，但仍然具有可微性和有界性。

1.8 完备集

集合的极限点(不一定是集合中的点)是指集合中任意点可以“逼近”的这个点，即使该极限点本身可能不属于该集合。更正式地讲，如果点 x 的每一个“邻域”(无论多小)都包含一个不同于 x 的 S 中的点(即没有孤点)，则该点是集合 S 的极限点。

在集合论中，完备集是指没有孤点的闭集。这意味着集合中的每一个点都是该集合的极限点(也称为聚点)。在本质上，在完备集中你总能找到集合中任意给定点附近的其他点。

1.8 Smith–Volterra–Cantor集(SVC)

英国数学家Henry J. S. Smith(1826-1883)于1875年首次构造出完备的，无处稠密的集合。Smith任教于牛津大学贝利奥尔学院，并于1860年被任命为萨维尔几何学教授，他主要以其在数论领域的工作而闻名。当时，很少有数学家知道Smith的构造，他的其他一些开创性工作也遭遇了同样的命运。当时，大多数激动人心的数学研究都发生在德国和法国，因此人们的注意力也集中在这两个国家。1881年，Vito Volterra展示了如何构造这样的集合，但当时Volterra还是一名研究生，他的论文发表在一份并不被广泛阅读的意大利期刊上。同样，他的成果也没有引起太多关注。最终，在1883年，Cantor重新发现了这个构造，一夜之间，它便为世人所知。Cantor 的例子被称为Cantor三元集(Cantor ternary set)。我们将使用这个术语来指代Cantor的具体例子，但Smith，Volterra和Cantor等人的工作所列举的完备，无处稠密集的例子家族，将被称为Smith-Volterra-Cantor集，或称 SVC 集。

2. Riemann 积分

Bernard Riemann于1851年获得博士学位，并于1854年获得数学家资格(Habilitation)。该资格是对博士论文之外的研究做出实质性贡献的认可，也是在德国大学获得教授职位的必要先决条件。Riemann选择的数学家资格论文是Fourier级数问题。该论文标题为《论函数的三角级数可表示性》(Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe)(关于函数的三角级数的可表示性)，严格来说，它回答了更广泛的问题：何时 (-π, π) 上的一个函数可以表示为形如

$\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos{(nx)}+b_{n}\sin{(nx)} )$ 的级数？在这里，我们发现了Riemann积分，该积分在论文主体之前的一小节中介绍，这是他在解决三角级数可表示性的实际问题之前需要打下的基础部分。

Riemann曾在柏林师从Dirichlet，之后前往哥廷根，在 Gauss的指导下完成博士学位。1852年秋天，Dirichlet访问了哥廷根。不久之后，Riemann写信给他的朋友Richard Dedekind：

“The other morning Dirichlet stayed with me for about two hours; he gave me the notes necessary for my Habilitation so completely that my work has become much easier; otherwise, for some things I would have searched for a long time in the library.”(那天早上，Dirichlet 陪了我大约两个小时；他给了我获得资格所需的全部笔记，让我的工作变得轻松多了；否则，有些东西我得在图书馆里找很久了。)

Riemann几乎肯定指的是他论文的详尽导言，其中描述了当时人们对 Fourier 级数的理解所取得的进展。但同样明显的是，Dirichlet一直在思考这个问题，并且可能得到了一些有用的建议。

Riemann 关于三角级数的论文直到1868年才发表，也就是他39岁去世两年后。这篇论文的出版由 Dedekind 负责。

Richard Dedekind(1831-1916)和 Bernhard Riemann 都曾在哥廷根师从 Gauss，后来又与继任 Gauss 教席的 Dirichlet 共事。他们建立了深厚的友谊。1862 年Dedekind 在布伦瑞克理工学院获得了一份教职，并在那里度过了余生。如今，他以其在数论和现代代数领域的贡献而闻名，尤其是建立了代数数域的整数环理论。

1870年，基于 Riemann 的成就，出现了三篇重要的论文：Hermann Hankel 对无限常振荡和不连续函数的研究(《关于无限常振荡和不连续函数的研究》(Üntersuchungen uber die unendlich oft oscillirendend und unstetigen Funktionen))，Eduard Heine 的《论三角级数》(Über trigonometrische Reihen)和 Georg Cantor 的《关于一个关于三角级数的定理》(Über einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz)。这些论文完成了两项重要任务。第一，阐明了一致收敛的概念以及相关的逐项积分何时合法的问题。第二，将函数的可积性问题转化为对函数不连续点集的研究，从而为集合论的发展和对实数结构的更深入理解开辟了道路。

第四篇直接受 Riemann 论文启发的开创性论文是 Gaston Darboux 于1875 年发表的《不连续函数回忆录》(Mémoire sur les fonctions discontinues)。1873年，Darboux 发表了 Riemann 论文的法文译本。显然，他对该论文进行了非常仔细的研究。他 1875 年的论文大大简化了 Riemann 积分的处理。在讨论 Riemann 积分时，我们将参考 Darboux 的定义和洞见。

Gaston Darboux(1842-1917)就读于巴黎高等师范学院，并于 1872 年至 1878 年任教。之后，他前往索邦大学，并于1880年接替 Michel Chasles 担任高等几何系主任。Darboux 以其在微分几何领域的成就而闻名，但他对数学的诸多贡献还包括编辑 Fourier 全集。

2.1 Riemann积分的存在性(Existence)

Riemann 用短短三页纸阐述了定积分的定义、瑕积分的定义，以及可积性的充要条件和证明。然后，他用一页纸描述了一个函数，该函数在每个分母为偶数的比率数点处不连续，但可积，从而表明连续性虽然是可积性的充分条件，但远非必要条件。正如 Dardoux所论证的那样，这四页纸的内容蕴含着丰富的信息。

Riemann 积分定义：对于定义于区间 [a ,b ] 上的一个函数 f ，对于每一个误差界 ε > 0 ，都存在一个相应的 δ > 0 ，使得对于任意长度小于 δ 的子区间分割 ( $x_{0} = a , x_1 ,..., x_{n} = b$ ) (即对于所有的 j， $|x_{j} - x_{{j}-1}| < \delta$ 以及任意一组标签(译注：或称一组点，有的书上称乎略有不同) $x_{1}^{*}\in [x_{0} , x_{1} ]$ , $x_{2}^{*}\in [x_{1} , x_{2} ]$ , ... , $x_{n}^{*}\in [x_{n-1} , x_{n} ]$ ，则相应的 Riemann 和都在值 V 的 ε 范围内：

$\displaystyle \left |\sum_{j=1}^{n}(f(x_{j}^{*})( x_{j}- x_{j-1})) - V \right | < \epsilon$ ，

则称此函数 f 在闭区间 [a ,b ] 上 Riemann 可积，且其积分值为 V 。

已知定义于 [a ,b ] 上的一个函数 f ，我们可以通过选择区间 [a ,b ] 的一个分割

$a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n} = b$

以及任意一组标签

$x_{1}^{*}\in [x_{0} , x_{1} ]$ ， $x_{2}^{*}\in [x_{1} , x_{2} ]$ ，... ， $x_{n}^{*}\in [x_{n-1} , x_{n} ]$ ,

求得定积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 的一个 Riemann 和近似。

利用 Cauchy 的收敛标准，若已知任意 ε > 0 ，存在一个相应的 δ > 0 ，使得区间长度小于 δ 的任意两个 Riemann 和之差小于 ε 。这个积分值表示为

$\displaystyle V=\int_{a}^{b}f(x)dx$ 。

这个定义的最大困难在于，处现 f 的标签中的可变性问题，由于 $x_{j}^{*}$ 在区间 $[x_{j-1},x_{j}]$ 中是任意的。Darboux 发现，实现的一种方式是利用集合 $\{ f(x) \vert x_{j-1} \leq x \leq x_{j} \}$ 最小上界(或者上确界)(注：实际上，Darboux 此时并没有对集合的上确界和最大值做出明确的区分)和最大下界(或者下确界)。

此分割的每一个Riemann 和(译注：有的书上称为 Cauchy-Riemann和)都位于上Darboux 和与下 Darboux 和之间(参见下一页顶部)。虽然可能无法找到真正等于上Darboux 和或下 Darboux 和的 Riemann 和，但我们可以找到任意接近 Darboux 和的Riemann 和。

Darboux 和定义：已知定义于 [a ,b] 上的一个函数 f 和这个区间的一个分割 $P = ( x_{0} = a , x_{1} ,..., x_{n} = b )$ ，我们分别定义集合的上确界和下确界为

$M_{j} = \sup \{ f (x)| x_{j-1} \leq x \leq x_{j} \}$

和

$m_{j} = \inf \{ f (x)| x_{j-1} \leq x \leq x_{j} \}$ 。

并定义上 Darboux 和为

(2.1) $\displaystyle \overline{S}( P ; f ) = \sum_{j=1}^{n}M_{j} (x_{j}-x_{j-1})$

定义下 Darboux 和为

(2.2) $\displaystyle \underline{S}( P ; f ) = \sum_{j=1}^{n}m_{j} (x_{j}-x_{j-1})$ 。

对于函数 f (x) ，当且仅且我们仅需通过限制我们的分割子区间的长度小于适当选择的相应的 δ ，即可迫使所有 Riemann 和位于我们的指定值 $V=\int_{a}^{b}f(x)dx$ 的 ε 范围内时，则此函数是 Riemann 可积的。当且仅当这些分割的上下 Darboux 和在指定值 V 的 ε 范围内时，才会发生这种情况。因此，当且仅当我们能够通过控制分割中区间的长度，使上下 Darboux和之间的差值尽可能小时，即当

$x_{j }- x_{j-1}$ ( 对于所有的 j ≥ 1) ⟹ $\sum_{j=1}^{n}(M_{j}-m_{j})(x_{j}-x_{j-1}) \leq \epsilon$

时，f 是 Riemann 可积的。

为了确保这个和小于 ε ，我们需要控制 $(M_{j}-m_{j})$ 的大小，我们称其为区间 $[x_{j-1 },x_{j}]$ 上的函数间距。如果我们可以通过取足够小的区间使得这个间距如我们所愿地小，则我们就有了可积性。我们选择 δ 使得有 $(M_{j} - m_{j}) < \epsilon/(b - a)$ 。可推导出

$\sum_{j=1}^{n}(M_{j}-m_{j})(x_{j}-x_{j-1}) < \epsilon/(b-a) \sum_{j=1}^{n}(x_{j}-x_{j-1}) \\\\= \epsilon/(b-a)(b - a) = \epsilon$ 。

这意味着每一个连续函数都是可积的。

那么不连续函数呢？如果 f 是不连续的，那么就会存在包含间断点的区间，在这些区间中，间距无法像我们希望的那样小。如果我们的函数是可积的，并且我们的分割包含间距大于或等于 σ 的区间，则这些区间的长度之和一定小于 ε/σ 。若用 $\sum^{*}$ 表示在这些区间上间距至少是 σ 的区间上的和，则

$\epsilon > \sum_{j}^{*}(M_{j}-m_{j})(x_{j}-x_{j-1}) \geq \sum_{j}^{*}\sigma(x_{j}-x_{j-1})\\\\ \Rightarrow \sum_{j}^{*}(x_{j}-x_{j-1}) < \epsilon/\sigma$ 。

如果我们为上下 Darboux 和之间的差值选择一个较小的界限，那么我们得到的间距幅度至少为 σ 的区间长度之和的界限就会更小。由于我们可以强制上下 Darboux 和之间的差值尽可能小，因此，我们也可以强制间距幅度超过 σ 的区间长度之和尽可能小，只需控制分割中区间的长度即可。

Riemann 意识到反过来也成立。如果对于每个 σ > 0，我们可以通过限制分割中区间的长度，使间距超过 σ 的区间长度之和尽可能小，那么我们就可以使得上下 Darboux 和位于彼此任意指定的 ε 值范围内。我们定义 D 为 { f (x)| a ≤ x ≤ b } 的最小上界和最大下界之差，使得对于所有的 j ≥ 1 ，有 $(M_{j} - m_{j}) \leq D$ 。我们令 σ = ε/2(b - a) 并基于这个分割区间选择一个极限使得在这些间距超过 σ 的区间总长度小于 ε/2 D 。我们按 Darboux 和将这个差值拆分成在那些区间上间距至少为 σ 的 Darboux 和 $\sum_{1}$ 和在那些区间上间距严格小于 σ 的 Darboux 和 $\sum_{2}$ 。即

(2.3)

$\begin{array}{rlc} \sum_{j=1}^{n}(M_{j}-m_{j})(x_{j}-x_{j-1})&=\sum_{1} (M_{j}-m_{j})(x_{j}-x_{j-1}) + \sum_{2} (M_{j}-m_{j})(x_{j}-x_{j-1}) \\ \\ & \sum_{1} D(x_{j}-x_{j-1}) + \sum_{2}\sigma(x_{j}-x_{j-1}) \\ \\ &< D\epsilon/2D + \epsilon/(2(b - a))(b - a) = \epsilon \end{array}$

这样，我们已经证明了 Riemann 积分的可积标准。

定理 2.1 (Riemann 可积性条件 ) 令 f 为闭区间 [a,b] 上的一个有界函数。当且仅当对于任意的 σ > 0 ,在间距上都存在一个界，且对于任意 ν > 0 ，间距超过 σ 的那些区间的长度之和有界，我们可以求得一个相应的 δ > 0 ，使得对于其每一个子区间长度都小于 σ 的闭区间 [a,b] 的任意一个分割，其间距至少为 σ 的子区间都具有严格小于 ν 的组合长度，则些函数 f 是 Riemann 可积的。

以上表述不太简明，我们改一种表述：

如果一个函数有界且几乎处处连续(即间断点集的测度为零)，则该函数是 Riemann可积的。这意味着该函数的值在区间上不可能无限大，并且函数间断的任何点在特定的数学意义上都必须是“小”的。

也就是说满足下更条件的函数是 Riemann 可积的 ：

(1) 有界。

函数必须在区间 [a ,b] 上有界。这意味着一定存在一个实数 M ，使得对于 [a ,b] 中的所有 x ，|f (x)| ≤ M 。在本质上，函数的值在区间上不能无限大(或无限小)。

(2) 几乎处处连续。

当且仅当一个函数的间断点集的测度为零时，这个函数是 Riemann 可积的，这也称为 Lebesgue 可积性条件。

• 间断点是指函数的不连续点。

• 如果一个集合可以被一个可数区间的并集覆盖，并且该区间的总长度可以任意小，则该集合的测度为零。

• 直观地说，这意味着间断点集的“大小”可以忽略不计。例如，有限集和像 {1/2, 1/3, 1/4, ...} 这样的集合的测度为零。

简单来说：如果一个函数有界，并且只有几个不连续的“坏”点(不连续点)(即只有有限个不连续点)，那么它很可能是 Riemann 可积的。

为什么限定这些条件呢？原因在于

(1) 对于有界性

如果没有有界性，上下 Riemann 和 (用于定义积分)可能会是无限的，从而使积分无法定义。

(2) 对于几乎处处连续

如果不连续点集具有正测度，则上下 Riemann 和将明显不同，从而阻止函数成为Riemann 可积函数。

在1881年，Vito Volterra 展示了如何利用 Darboux sum 创建上下积分，这些积分对每一个函数都成立。观察 Darboux 和的上积分，我们可以看出，随着分割越来越精细(包含更多点)，上积分的值会越来越小，并在接近 Riemann 积分值时逐渐减小。这意味着取所有 Darboux 和的上积分中的最大下界。如果 Riemann 积分存在，它就等于这个最大下界。同样，如果黎 Riemann 积分存在，它就等于所有 Darboux 和的最小上界。虽然这些积分最初是由Volterra 描述的，但它们通常以 Darboux 和的名字命名，因为它们是根据他的积分定义的。

如果 f 是 Riemann 可积函数，那么其上下 Darboux 积分必定相等。

3. 测度论的发展

3.1 Riemann积分的局限性

在 19 世纪 80 年代和 90 年代，Riemann 积分积累了一系列不便之处，其中包括：

(1) 它仅针对有界函数定义。虽然引入了瑕积分来处理无界函数，但这种解决方法似乎只是权宜之计。此外，只有当具有无界间距的点集的外容为零时，瑕积分才有效。

(2) 在稠密点集上，可能存在一个具有正间距的可积函数，因此该积分在该稠密点集的任何点上都不可微。这违反了微积分基本定理中关于该稠密点集的反微分部分。

(3) 可能存在有界导数无法积分的情况(例如 Volterra 函数)。这违反了微积分基本定理的求值部分。

(4) 有界可积函数序列的极限不一定可积(Baire 序列 )。

(5) 寻找逐项积分有效的充要条件的问题变得极其困难。

尽管 Riemann 积分存在诸多不便，但很少有数学家对其感到不满。Weierstrass 便是其中之一。在1885年写给 Paul du Bois-Reymond 的一封信中，他表达了对需要考虑被积函数在间距为正的点上的值的不满。Hankel 已经证明，如果一个函数是 Riemann 可积的，那么它在最坏的情况下也是逐点间断的。也就是说，函数连续的点一定是稠密的。虽然任何 Riemann 可积函数在最坏的情况下都是逐点间断的(参见练习5.1.1)，但 Hankel 更进一步，断言所有逐点间断函数都是 Riemann 可积的，这是错误的。

Weierstrass 建议修改 Riemann 的定义，使得在 Riemann 和中，

$\sum_{i=1}^{n}f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})( x_{i-1} \leq t_{i} \leq x_{i} )$

仅限于连续点。看起来他希望扩展可积函数的类别，这样(例如) Volterra函数的导数现在是可积的。

正如 du Bois-Reymond 在他的回应中指出的那样，这并不能拯救我们。即使在Weierstrass 的定义下，Volterra 函数的导数也不是可积的。

3.2 几个定义

3.2.1 Jordan测度

对于一个集合 S ，当仅且当公其内容(inner content)和外容(exterior content)相等时，即 $c_{i}(S)=c_{e}(S)$ 时，此集合 S 是 Jordan 可测的。

3.2.2 Borel测度

Borel 首先从三个唯一定义 Borel 测度的假设开始：

(1) 有界区间的测度是该区间的长度(无论是开区间，闭区间还是半开区间)。

(2) 两两脱离的可测集的可数并集的测度是它们测度的和。

(3) 若 R 和 S 是可测集且 R ⊆ S ，则 S – R 也是可测集。此外，m( S – R ) = m( S ) - m( R )。

例如，每个集合 SVC(n)(n > 3)，都是 [0, 1] 区间上可数开区间并集的补集。它在Borel 测度意义下是可测的，其测度为 (n - 3)/(n - 2)。事实上，任何开集都是可数开区间的并集，因此，开集和闭集在 Borel 意义下都是可测的。

3.2.3 Borel集

Borel 的概念与我们现代的测度概念非常接近，但在他所有关于测度应用的讨论中，他都局限于那些可以用可数并集和补集从区间构造的集合。今天，我们把这样构造的集合称为 Borel 集。

3.2.4 可数覆盖

集合 S 的可数覆盖是其并集包含 S 的可数区间族。

3.2.5 Lebesgue 外测度(exterior measure)

已知一个有界集 S ⊆ [a ,b ] ，令 𝒞 为 S 的所有可数覆盖族。则 S 的 Lebesgue 外测度 $m_{e}(S)$ 为 C∈𝒞 上的构成 C 的逐对脱离开区间的长度之和的下确界，即

$\displaystyle m_{e}(S) =\inf_{C\in \mathcal{C} }{m(C)}$ 。

3.2.6 Lebesgue 内测度(inner measure)

已知一个有界集 S ⊆ [a ,b ] ，则 S 的 Lebesgue 内测度 $m_{i}(S)$ 为 (b - a) 减去 S 在 [a ,b ] 的补集中的外测度，即

$m_{i}(S ) = (b - a) - m_e([a ,b ] - S )$ 。

3.2.7 Lebesgue 测度

已知一个有界集 S ⊆ [a ,b ] ，若 $m_{i}(S ) =m_{e}(S)$ ，则我们称 S 是 Lebesgue 可测的，其测度定义为共值

$S=m_{i}(S ) =m_{e}(S)$ 。

3.3 Lebesgue测度

Lebesgue 出生于1875年。1894年，他进入巴黎高等师范学院学习。在那里，他学习了 Jordan 的《分析教程》(Cours d' analyse)，并结识了 Émile Borel 。1897年，他毕业后在图书馆工作了两年，然后在 Nancy 担任中学教师，在此期间，他一直在撰写博士学位论文，论文中他采用了一种革命性的方法来解决积分问题。1899年至1901年期间，他发表了自己的研究成果。这篇论文于1902年被 Sorbonne 大学正式接受。1902年至1903年，他在法兰西学院开设了享有盛誉的 Peccot 课程(Cours Peccot)，并在《积分与反导数探究讲座》(Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives)(Lectures on Integration and the Search for Anti-Derivatives)中阐述了他的研究成果。

获得博士学位后，Lebesgue 先后在 Rennes 和 Poitier 担任教授，并于1910年起在Sorbonne 大学任职。1921年，他被任命为法国学院教授。1922年，他当选为法国科学院院士。Lebesgue 是一位多产的数学家，在拓扑学、集合论和偏微分方程方面做出了重要贡献。晚年，他专注于数学教育和数学史研究。Lebesgue于1941年去世。

他的《积分讲座》(Lectures on integration)(仍在印刷中)是对 Lebesgue 测度和积分这一主题的精彩介绍。其前三分之一解释了 Riemann 积分，讨论了它的优点和缺点，并回顾了我们在本书前几章中介绍的大部分历史。Lebesgue 以 Jordan 测度和一个定理结束了这一部分：对于非负函数，Riemann积分就是 $S_{f}$ 的 Jordan 测度 $S_{f}$ ， 是以 f 的图像为上界以及以 x 轴为下界的区域的点集。

在第 7 章中，他披露了他的新的思想。为了定义 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ，他并未按照 Newton，Leibniz，Cauchy,以及 Riemann 他们的方法，在区间 a 和 b 之间分割 x 轴。而是，他令 l 为 f 值的下确界(infimum)，令 L 为 f 值的上确界(supremum),然后在 l 和 L 之间分割 y 轴。即，他用有限个水平切分来切分面积，从而代替有限个垂直切分来切分面积。见图 3.1 。

--------------------------图 3.1：Lebesgue 水平分割--------------------------

考虑 y 轴的分割： $l = l_{0} < l_{1} < l_{2} < ...< l_{n} = L$ 。对于每一个水平带域 $l_{i} \leq y < l_{i+1}$ ，我们考虑 f (x) 位于这个带域中的所有点：

$S_{i} = \{ x | l_{i} \leq f (x) < l_{i+1} \}$ (即函数值在这个范围内的x的值的集合)。

令 $\chi_{S_{i}}$ 为这个集合的特征函数。若 x 在此集合中，则其值为 1，否则其值为 0 。我们可以将我们的函数夹挤(squeeze)到两个特征函数的和之间：

$\sum_{i=0}^{n-1}l_{i} \chi_{S_{i}}(x) \leq f (x) < \sum_{i=0}^{n-1}l_{i+1} \chi_{S_{i}}(x)$ ( 对于所有的 x∈[a,b] )。

我们正在利用有限和，因此每一个这些和的积分都应该是这些积分之和，并且积分应该保留不等式：

$\sum_{i=0}^{n-1}l_{i}\int_{a}^{b} \chi_{S_{i}}(x)dx \leq \int_{a}^{b} f (x)dx \leq \sum_{i=0}^{n-1}l_{i+1}\int_{a}^{b} \chi_{S_{i}}(x)dx$ 。

集合的特征函数的积分应该是该集合的测度。根据我们已有的定义方式，我们的集合 $S_{i}$ 是逐对脱离的。若它们总是 Jordan 可测的，则 $S_{i}$ 的测度之和是它们的并集之测度，其测度值为 b – a 。若基于 y 轴的区间 $(l_{i+1} - l_{i})$ 的长度均小于 ε ，则基于这个值，我们的积分的上下极限最多相差为

$\sum_{i=0}^{n-1}(l_{i+1}-l_{i})\int_{a}^{b} \chi_{S_{i}}(x)dx \leq \epsilon \sum_{i=0}^{n-1}\int_{a}^{b} \chi_{S_{i}}(x)dx=\epsilon (b-a)$ 。

通过取 y 轴足够精细的分割，我们总是可以迫使上下界如我们所愿地接近。

如果我们局限于 Jordan 测度，那么我们又回到了 Riemann 积分。但 Lebesgue 发现他可以使用 Borel 的测度概念。

考虑 Volterra 函数的导数 $V^{'}$ 。我们无法对该函数求积，是因为在 SVC(4) 中任意一点的邻域内，该导数取值既为 +1，也为 -1。如果我们将函数水平切分，并观察它位于 0.7 和 0.8 之间的位置，就会发现这是一个相当不错的集合。它是一个可数的脱离(不相交)区间并集(参见图 3.2)。 $V^{'}(x)$ 位于 0.7 和 0.8 之间的 x 值集在 Jordan 意义上不可测，但它是一个 Borel 集。如果我们使用 Borel 测度，则 Volterra 函数的导数是可积的。微积分基本定理(求值部分，即定积分)似乎可以得到解决。

-----------------------------图 3.2： $V^{'}$ 的 Lebesgue 分割-----------------------

3.3.1 基于Borel集的改进

Lebesgue 意识到他不能简单地用 Borel 测度代替 Jordan 测度。正如我们所见，这会严重减少可测集的数量。Lebesgue 需要的是一个能够涵盖所有 Jordan 可测集和所有Borel 可测集的测度概念。他列出了他的测度必须具备的三个条件：

(1) 它是平移不变的：将相同的数添加到可测集的每一个元素上，不会改变其测度。

(2) 两两脱离的可测集的可数并集的测度等于各个集合测度之和。

(3) 区间 (0, 1) 的测度为 1。

与 Borel 不同，Lebesgue 试图找到一个最普遍的集合，以便能够定义这样的测度。Lebesgue 测度建立在可数覆盖(countable cover)的概念之上。

任何可数区间的并集都可以表示为两两脱离区间的可数并集。如果 C 是两两脱离区间的可数并集，则 Lebesgue 三条件意味着 C 的 Lebesgue 测度(记为 m( C )) 一定等于 C 中各区间长度之和 。我们以此为起点，得到 Lebesgue 测度的一般定义。

Lebesgue 外测度满足 Lebesgue 的三个条件，但它仍然缺少一个在 Jordan 测度和 Borel 测度中都存在的关键性质：如果 S 和 T 同为 Jordan 或 Borel 可测集，则 S – T 也分别为 Jordan 可测集或 Borel 可测集，并且 S – T 的相应测度等于 S 的测度减去 S∩T 的测度。对于 Borel 测度，这一点已内置于定义中，因为可测性在补集下得以保留。对于 Jordan 测度，其论证则更为微妙。

Jordan 测度是根据有界集的测度来定义的。当一个有界集的内容和外容相同时，该集是 Jordan 可测的，而内容由有限个脱离区间的长度和的上确界定义，这些区间的并集包含在该集合内。任何脱义区间的有限并集的补集都是脱离区间的有限并集(允许区间为单个点)。若 S ⊆ [a ,b ]，则每一个 C (包含于 S 中的脱离区间之有限并集) 恰好对应一个 K (包含 [a ,b ] - S 的脱离区间之有限并集)，反之亦然。因此可推出

$\begin{array}{rlc} c_{i}(S)&\displaystyle=\sup_{C\in C_{S}^{i}}c(C) \\ \\ &\displaystyle=\sup_{C\in C_{[a,b]-S}^{i}}((b-a)-c(K)) \\ \\ &\displaystyle=(b-a)-\inf_{C\in C_{[a,b]-S}^{e}}c(K) \\ \\ &\displaystyle=(b-a)-c_{e}([a,b]-S) \end{array}$ 。

Jordan 可测性的条件 $c_{i}(S)=c_{e}(S)$ 恰好是我们需要的条件，用于确保 $c_{e}([a ,b ] - S) = (b - a) - c_{e}(S)$ 。

Lebesgue 外测度更为复杂，因为可数脱离区间并集的补集不再必然是可数脱离区间的并集——SVC 集就是明证。Lebesgue 内测度的自然定义似乎是对 S 中包含的所有可数脱离区间并集取这些区间长度之和的上确界。然而，这最终被证明是一个无用的概念，因为它只是重新创建了内容。Lebesgue 内测度的正确定义与内容的替代定义相对应，后者展示了如何计算补集的内容。

看起来，我们似乎还没有达到所需的完全互补性：如果 S 和 T 可测，那么 S - T 也可测，且 m(S – T ) = m(S ) - m(S ∩ T )。正如我们将在下一节中看到的，这个更一般的互补性命题，是以下命题的结果：对于 S ⊂ [a, b] 。

(3.5) m ([a, b] – S ) = (b - a) - m (S ) 。

从今以后，外测度，内测度，测度都指 Lebesgue 测度。这个定义满足我们测度的第一和第三个条件，这一点很容易验证。第二个条件，即可数可加性。

正如 Lebesgue 所观察到的那样，外测度总是次加性的(subadditive)。

定理(外测度的次可加性)( Subadditivity of Outer Measure) Lebesgue 外测度是次可加性的。即对于任意可数集合族 $( S_{1} , S_{2 },... )$ ，我们有

$\displaystyle m_{e}(\bigcup_{i=1}^{\infty}S_{i} ) \leq \sum_{i=1}^{\infty}m_{e}(S_{i})$ 。

定理(可测集的例子) 若集合 S 有界，则任意下述条件都意味着 S 可测：

(1) S 的外测度为零，

(2) S 是可数的，或

(3) S 是一个区间(开区间，间区间，或半开半闭区间)。

4. Lebesgue 积分

在前面，我看到函数 f 的 Lebesgue 积分的背后的思想是对 y 轴进行分割，令 l 为 f 值的下确界(infimum)，令 L 为 f 值的上确界(supremum), 则分割为 $l = l_{0} < l_{1} < l_{2} < ... < l_{n} = L$ ，并定义带域中的所有点为

$S_{i} = \{ x | l_{i} \leq f (x) < l_{i+1} \} ( i \geq 0 )$ (满足函数值在此范围内的 x 的集合) ，

然后用求和来界定这个积分，即

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}l_{i} m(S_{i}) \leq \int_{a}^{b}f (x)dx \leq \sum_{i=0}^{n-1}l_{i+1} m(S_{i})$ 。

随着在 y 轴上的分割越来越精细，这些和会相互越来越接近，从而接近积分的值。根据这样的积分方式，研究积分的可积性就转变为研究函数在此区间上的可测性。

鉴于求不可测集的难度，我们应该预期，对于合理的函数， $S_{i}$ 是可测的。但这里有一些需要证明的地方。我们将这类函数称为可测函数。第一节最重要的结果是，所有 Riemann 可积函数都是可测的。从 Riemann 积分转换为 Lebesgue 积分，我们不会有任何损失(反而会受益匪浅)。即从研究积分区间(例如，在区间上函数有界，在区间上函数连续性等)转而研究函数在区间上可测。