hihoCoder hiho一下第四十二周：骨牌覆盖问题·二

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ColorlessSilver/article/details/45151503

探讨了3xN尺寸棋盘使用1x2骨牌的覆盖方法数量问题，通过矩阵快速幂算法求解，给出具体实现代码及样例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目1 : 骨牌覆盖问题·二
时间限制:10000ms
单点时限:1000ms
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描述

上一周我们研究了2xN的骨牌问题，这一周我们不妨加大一下难度，研究一下3xN的骨牌问题？
所以我们的题目是：对于3xN的棋盘，使用1x2的骨牌去覆盖一共有多少种不同的覆盖方法呢？
首先我们可以肯定，奇数长度一定是没有办法覆盖的；对于偶数长度，比如2，4，我们有下面几种覆盖方式：

提示：3xN骨牌覆盖

输入

第1行：1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000

输出

第1行：1个整数，表示覆盖方案数 MOD 12357

样例输入
62247088
样例输出

4037

#include<iostream>
#include<cstring>
#define T 8
using namespace std;
class Matrix{
public:
	Matrix();
	Matrix operator *(Matrix &m);
	Matrix operator %(int mod);
	int getAns(int c, int r);
	void setAns(int c, int r, int x);
private:
	int data[T][T];
};

Matrix::Matrix(){
	memset(data, 0, sizeof(data));
}

Matrix Matrix::operator *(Matrix &m){
	Matrix M;
	for (int i = 0; i < T; i++){
		for (int j = 0; j < T; j++){
			for (int k = 0; k < T; k++){
				M.data[i][j] += (data[i][k] * m.data[k][j]);
			}
		}
	}
	return M;
}

Matrix Matrix::operator %(int mod){
	Matrix M(*this);
	for (int i = 0; i < T; i++){
		for (int j = 0; j < T; j++){
			M.data[i][j] %= mod;
		}
	}
	return M;
}

int Matrix::getAns(int c, int r){
	return data[c][r];
}

void Matrix::setAns(int c, int r, int x){
	data[c][r] = x;
}
int main(){
	int n;
	const int mod = 12357;
	while (cin >> n){
		Matrix A, M;
		A.setAns(0, 7, 1);
		Matrix ans(A);
		for (int i = 0; i != 8; ++i){
			M.setAns(i, 7 - i, 1);
		}
		M.setAns(3, 7, 1);
		M.setAns(7, 3, 1);
		M.setAns(6, 7, 1);
		M.setAns(7, 6, 1);
		while (n > 0)
		{
			if (n % 2 == 1)
				ans = (ans*M)%mod;
			n = n / 2;
			M = M*M%mod;
		}
		cout << ans.getAns(0, 7) << endl;
	}
}