全错位排列递推分析

全错位排列：即被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的一个妙题的“装错信封问题”。
“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

分析：

假设有信封A,B,C,D...；信件1,2,3,4...；全部装错有f(n)种情况。

这里分两种情况考虑:①前面n-1个信封全部装错；②前面n-1个信封有一个没有装错其余全部装错。

①前面n-1个信封全部装错：

因为前面n-1个已经全部装错了，所以第n封只需要与前面任一一个位置交换即可，总共有f(n-1)*(n-1)种情况。

举例:假设有4个信封ABCD和4个信件1234;

那么前三个全部排错的情况为:312,213两种，加上4后变为3124,2134。4不能在自己位置，因此与前面位置交换即可，所以有4123,3421,3142,4312,2413,2341六种情况。

②前面n-1个信封有一个没有装错其余全部装错：

为什么考虑这种情况，因为n-1个信封中如果有一个没装错，那么我们把那个没装错的与n交换，即可得到一个全错位排列情况。

得到这种情况的种数也很简单，即是忽略掉那个没装错的情况去排列其他的信封的全错排种数f(n-2)*(n-1)。

举例:假设有4个信封ABCD和4个信件1234;

前三个为123，忽略1，剩下23，错排23就有32一种情况加上14即变为1324，再交换得到4321这种情况;

前三个为123，忽略2，剩下13，错排13就有31一种情况加上24即变为3214，再交换得到3412这种情况;

前三个为123，忽略3，剩下12，错排12就有21一种情况加上34即变为2134，再交换得到2143这种情况

共三种情况。

综上，f(n)=f(n-1)*(n-1)+f(n-2)*(n-1)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2));