微软编程之美2014初赛第一场#3

题目3 : 活动中心
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描述
A市是一个高度规划的城市，但是科技高端发达的地方，居民们也不能忘记运动和锻炼，因此城市规划局在设计A市的时候也要考虑为居民们建造一个活动中心，方便居住在A市的居民们能随时开展运动，锻炼强健的身心。

城市规划局希望活动中心的位置满足以下条件：

1. 到所有居住地的总距离最小。

2. 为了方便活动中心的资源补给和其他器材的维护，活动中心必须建设在A市的主干道上。



为了简化问题，我们将A市摆在二维平面上，城市的主干道看作直角坐标系平的X轴，城市中所有的居住地都可以看成二维平面上的一个点。

现在，A市的城市规划局希望知道活动中心建在哪儿最好。



输入
第一行包括一个数T，表示数据的组数。

接下来包含T组数据，每组数据的第一行包括一个整数N，表示A市共有N处居住地

接下来N行表示每处居住地的坐标。



输出
对于每组数据，输出一行“Case X: Y”，其中X表示每组数据的编号(从1开始)，Y表示活动中心的最优建造位置。我们建议你的输出保留Y到小数点后6位或以上，任何与标准答案的绝对误差或者相对误差在10-6以内的结果都将被视为正确。



数据范围
小数据：1 ≤ T ≤ 1000, 1 ≤ N ≤ 10

大数据：1 ≤ T ≤ 10, 1 ≤ N ≤ 105

对于所有数据，坐标值都是整数且绝对值都不超过106


样例解释
样例1：活动中心的最优建造位置为(1.678787, 0)

样例输入
1
3
1 1
2 2
3 3
样例输出

Case 1: 1.678787

问题分析:

该问题可以看做在一条直线一侧有N个点，求N个点到直线上一点的距离和最短，由此我们根据坐标系建立方程， N个点分别为A1，A2，A3......An；直线上一点为P(x,0)。那么可以写出方程距离和 d=∑ sqrt((Axi-x)^2+Ayi^2)；这是一个关于x的一元二次方程，分析可得开口向上，存在最小值，该最小值在导数等于0时取得。因此，对该方程求导可得 ∑(Axi-x)/sqrt((Axi-x)^2+Ayi^2);这个式子的含义其实就是各个点与直线上一点的连线和坐标轴构成的角的余弦值和，因此余弦和为0的时候便是最小值了，找出x的值可以采用二分法。

#include<iostream>
#include<map>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#define esp 1e-6
using namespace std;
map<int, int> m;
double check(double x){
	map<int, int>::iterator it;
	double sum = 0;
	double a, b;
	for (it = m.begin(); it != m.end(); ++it){
		a = it->first - x;
		b = it->second;
		sum += (a*1.0 / sqrt(a*a + b*b));
	}
	return sum;
}
int main(){
	int t;
	while (cin >> t){
		for (int i = 1; i <= t; i++){
			int n;
			cin >> n;
			for (int j = 0; j < n; j++){
				int a, b;
				cin >> a >> b;
				m[a] = b;
			}
			double l = m.begin()->first;
			map<int, int>::iterator itor = m.end();
			itor--;
			double r = itor->first;
			double mid = (l + r) / 2.0;
			double ans = check(mid);
			while (fabs(ans) > esp){
				if (ans > 0){
					l = mid;
					mid = (mid + r) / 2;
				}
				else{
					r = mid;
					mid = (mid + l) / 2;
				}
				ans = check(mid);
			}
			cout.setf(ios::fixed);
			cout.setf(ios::showpoint);
			cout.precision(6);
			cout << "Case " << i << ": " << mid << endl;
			m.clear();
		}
	}
}