红黑树的插入

红黑树定义

        红黑树(Red Black Tree) 是一种自平衡的二叉查找树，典型用途是实现关联数组，红黑树与AVL树类似，都是在插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。

        红黑树查找、插入删除的时间复杂度为O（logⁿ）

        下图是一棵红黑树：

红黑树性质

        红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色是红色或黑色。在二叉查找树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求：

1. 每个节点是红色或黑色
2. 根节点时黑色
3. 哨兵节点是黑色（且每个叶节点都要指向一个哨兵节点，哨兵节点一定是黑的）
4. 每个红色节点的两个子节点是黑色。（从每个节点到根的所有路径上，不能有两个连续的红色节点）
5. 从任一节点到其叶子节点的所有路径都包含相同数据的黑色节点

        这些约束强制了红黑树的关键性质：从根到叶子的最长路径不多于最短的可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的

        在二叉树中，每次插入的节点都是红色，至于该节点最后是什么颜色，取决于把不同的情况。

红黑树的插入

        红黑树的插入，每次新插入的节点都是红色的，但是最终是什么颜色，取决于以下情况：

        记要插入的节点为：p

        ① 如果p是第一个节点，根据红黑树性质：根节点必须为黑色。所以该节点的颜色为黑色。

        ② 若p的双亲节点的颜色为红色，则需要通过旋转或者着色的方式，进行红黑树的调整。

        注意，这里又分为两种情况：(1).若p插入到双亲节点的右侧。 (2) 若p插入双亲节点的左侧。

        通过以上方式，我们可以进行红黑树的调整，可是我们如何知道什么情况下使用旋转的方式，什么情况下使用着色的方式呢？

• 当p的双亲的双亲的左（右）孩子为红色时，我们通过着色的方式，进行调整，即让p的双亲的双亲的左右孩子变为红色，p的双亲的双亲变为黑色，这样我们就能保证，在红黑树的每一条路径上的黑节点的个数都是相等的。
• 当p的双亲的双亲的左（右）孩子为黑色时，我们通过旋转的方式，进行调整。有可能是双旋转，也有可能是单旋转，这取决于p插入在其直接双亲节点和p双亲的双亲节点的颜色，从而达到每一条路径上的黑节点个数是相等的。

        我们上述所说的p双亲的双亲的左(右)孩子，这个左和右，说的是从整体上看，p在红黑树的左边插入还是右边插入，如果是从左边插入，则找的几居室双亲的双亲的右孩子，反之亦然。

        示例：

        注意：p指向的是待插入节点，在演示的过程中，前面的没有将哨兵节点截进图内，但是一定要清楚，每一个新插入的节点的左右孩子最开始都是指向哨兵节点的。且哨兵节点一定是黑色的。

        ① 现在p是值为12的节点，插入后发现p是根节点，所以p的颜色必须为黑色。

        ② 现在p是值为23的节点，它应该插入12的右侧。p的父节点是黑色，且每条路径上的节点数相同，也没有出现一条路径上同时出现连续两个红色节点的情况，所以正常插入(新插入的节点都是红色的)。如下图：

        ③ 现在p是值为34的节点，应该插入23的右侧。 p(34)的父节点为红色，此时出现了连续两个红节点的情况，这个时候，我们就需要看p的双亲的双亲节点的左孩子节点是什么颜色，我们知道，此时12这个节点的左孩子是哨兵节点，而哨兵节点是黑色的，所以我们要通过旋转的方式，调整这棵红黑树。我们发现，p(34)和23、12这三个节点在同一直线上，所以采用左单旋转的方式进行调整，调整后，为了保持在每一条路径上黑色节点的个数相同，我们需要将p的双亲节点置为黑色，把p的双亲的双亲节点置为红色。如下图：

        ④ 现在p是值为56的节点，应该插入34的右侧。p(56)的父节点为红色，此时又出现了同一路径上连续两个红节点的情况，这个时候，我们又要去看p的双亲的双亲节点(即23这个节点)的左孩子节点是什么颜色ÿ