AVL树的旋转

原创最新推荐文章于 2026-05-11 16:26:31 发布 4.8k 阅读 AI写同款

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AVL树的四种旋转方式(详细图解) 新节点插入到左子树的右侧时对parent使用左右双旋。新节点插入到右子树的左侧时对parent使用右左双旋。新节点插入到右子树的右侧时对parent使用左单旋。新节点插入到左子树的左侧时对parent使用右单旋。阅读详情

AI摘要

本文详细介绍了AVL树的定义、平衡因子和旋转原理，包括左单旋转、右单旋转及双旋转的情况分析，并给出了具体的旋转代码实现。通过实例展示了在不同插入位置时如何保持AVL树的平衡，确保其高度对数复杂度。

定义

一棵AVL树可以是空树，也可以是具有下列性质的二叉搜索树：它的左子树和右子树都是AVL树，且左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1(也就是小于等于1)。(右子树高度 - 左子树高度)

节点的平衡因子：给每个节点附加一个数字，给出该节点右子树的高度减去左子树的高度所得的高度差，这个数字即为节点的平衡因子。

如果一棵二叉搜索树的高度是平衡的，它就成为了AVL树，如果它有n个节点，其高度可保持在O(log₂ⁿ)。

AVL树的旋转

平衡化旋转：
① 如果在一棵平衡的二叉搜索树中插入一个新节点，造成了不平衡。此时必须调整树的结构，使之平衡化。

② 平衡化旋转有两类：单旋转和双旋转。

其中单旋转又可分为左单旋转和右单旋转。

每插入一个新节点时，AVL树中相关的平衡状态会发生改变，因此，在插入一个新节点后，需要从插入的位置沿向根的路径回溯，检查各节点的平衡因子。

如果在某一节点发现高度不平衡，停止回溯，从发生不平衡的节点起，沿刚才回溯的路径直接下两层的节点，如果这三个节点处于一条直线上，则采用单旋进行平衡化。单旋转可按其旋转方向分为左单旋转和右单旋转，其中一个是另一个的镜像，其旋转方向与不平衡的形状有关。

如果这三个节点处于一条折线上，则采用双旋转进行平衡化。双旋转分为先左后右和先右后左两类。

左单旋转

如图，此时这棵树是一根平衡的二叉搜索树，所以我们也可以称这棵树为AVL树。每个节点的平衡因子用红色字体标出。我们可以看到，每个节点的平衡因子的绝对值都没有超过1.此时该树平衡。
在这里插入图片描述

此时，我们插入新的节点，节点值为85，我们发现，50这个节点的平衡因子超过1了。这棵树已经是不平衡的了，如下图所示：
在这里插入图片描述
根据我们的旋转规则：从新加入的节点开始沿根的路径回溯，找到不平衡的节点，从这个不平衡的节点开始沿刚才回溯的路径向下寻找两层节点，如果这三个节点在同一直线上，我们就是用单旋转，否则使用双旋转。依据这个规则，我们找到了不平衡的节点50，向下两层找到了节点70、节点80。这三个节点在同一直线上，所以我们采用单旋转。

以不平衡节点的下一个节点为旋转点，进行左单旋转：如图所示：
在这里插入图片描述
如上图所示，我们首先定义一个ptr引用指向不平衡的节点，然后它的右孩子，是我们旋转后的根节点，我们将它定义为newRoot

具体是怎么旋转的，我们来看看下图：
在这里插入图片描述
具体代码实现：

// AVL树的结构与二叉搜索树的结构相似，只是多了一个 int balance遍历表示平衡因子。
// 这里AVL树的结构就不再给出。直接给出坐旋转的代码。

    public void rotateLeft(ANode ptr){
        ANode newRoot = ptr.rightChild; // ①
        newRoot.parent = ptr.parent; // 维护newRoot的双亲。

        // 维护newRoot.leftChild的双亲。
        if (newRoot.leftChild!=null) {
            newRoot.leftChild.parent = ptr;
        }
        ptr.rightChild = newRoot.leftChild;//③


        newRoot.leftChild = ptr; // ②
        ANode pa = ptr.parent;
        // pa == null 说明旋转前，ptr就是根节点
        if (pa==null){
            root = newRoot;
        }else{
            // pa != null 说明ptr要么是上一棵AVL树的左子树
            // 要么是上一棵AVL树的右子树。
            if (pa.leftChild == ptr){
                pa.leftChild = newRoot;
            }
            if (pa.rightChild == ptr){
                pa.rightChild = newRoot;
            }
        }
        
        //维护ptr的双亲
        ptr.parent = newRoot;
    }

右单旋转

右单旋转和左单旋转的思路是一样的，只不过是旋转的方向不同，我们还是用图示来说明。

如图，此时是一棵平衡的AVL树。
在这里插入图片描述

当我们向这棵AVL树中添加节点10时，如下图所示：
在这里插入图片描述
此时，我们从新插入的节点10开始，沿着根路径向上回溯的查找，直到查找到80这个节点，发现该节点的平衡因子的绝对值大于1，于是，从该节点向下，沿着刚才回溯的路径，找到下两层节点40、30。这三个节点在同一条直线上，此时以40这个节点为旋转点，进行右单旋转。

如下图：
在这里插入图片描述
代码实现：

    // AVL树右单旋转
    public void rotateRight(ANode ptr){
        ANode newRoot = ptr.leftChild;
        newRoot.parent = ptr.parent; //维护newRoot的双亲
        
        //维护newRoot.rightChild的双亲
        if (newRoot.rightChild!=null){
            newRoot.rightChild.parent = ptr;
        }
        ptr.leftChild = newRoot.rightChild;

        newRoot.rightChild = ptr;
        ANode pa = ptr.parent;
        if (pa == null){
            root = newRoot;
        }else{
            if (pa.rightChild == ptr){
                pa.rightChild = newRoot;
            }
            if(pa.leftChild ==ptr){
                pa.leftChild = newRoot;
            }
        }
        ptr.parent = newRoot; //维护ptr的双亲
    }

双旋转

若某一个节点的平衡因子发生改变，沿着回溯路径，以最后一层的节点为旋转点，进行先左单旋后右单旋，或者进行先右单旋后左单旋。

现有一棵AVL树，每个节点的平衡因子的绝对值都没有超过1，所以该AVL是平衡的。
在这里插入图片描述

此时，我们新节点插入的位置有四种，分别为上述图中标出来的1、2、3、4这四个位置。

情况一：
首先分析，如果我们插入的位置为1或者2这两个位置其中之一，则有：
在这里插入图片描述

此时，我们发现无论我们插入的是1位置还是 2位置，节点B的平衡因子都会变成-1，而节点A的平衡因子都会变成-2。都会导致AVL树不平衡，需要旋转。

我们从新插入的节点开始，向上回溯至不平衡节点的位置，找到了A节点，于是按照旋转规则：找到刚才回溯路径包括A节点在内的3个节点，即A、B、D开始进行旋转。 即，如果我们新的节点插入到1或者2这两个位置其中之一，我们需要旋转的条件就是：当B的平衡因子变为-1时，我们就要进行单旋转，再进行完单旋转后，我们还需要对B的平衡因子重新赋值。

我们上面分析过了，无论插入1还是2位置，只是进行单旋转，如下图：
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

我们发现了一个有意思的事情，无论新插入的节点插入1位置还是2位置，在旋转前，B的平衡因子都会变为-1，而在旋转后，B的平衡因子会变为0，A的平衡因子也会变为0。声明一点：图中没有标注ptr和newRoot两个引用，ptr和newRoot的指向和右单旋转是一样的。

情况二：

当我们新节点插入的是3位置
在这里插入图片描述
此时，B的平衡因子变为1，E的平衡因子变为-1。从新插入节点F处开始向上查找不平衡的节点，找到了A，于是按照遍历规则，A及其下两层的节点要进行旋转。由于A、B、E这三个节点不在一条直线上，所以我们需要双旋转。先以E节点为旋转点，EB进行左单旋转。如图所示：

在这里插入图片描述
接着，再以E为旋转带你，EA为轴进行右单旋转，如图：

此时，我们发现，E的平衡因子变为0，A的平衡因子变为1。

整体旋转过程如图所示：
在这里插入图片描述
情况三：

当新节点插入的位置在4号位置时，如图所示：此时，B的平衡因子还是变为1，E的平衡因子变为了 1 。
在这里插入图片描述
于是，我们接着按照旋转规则，从新插入节点F处向上查找不平衡的节点，找到A节点，然后A节点向下两层找到A、B、E三个节点，这三个节点不在一条直线上，我们需要进行双旋转。

        首先，以E为旋转点，EB进行左单旋，如图所示：
在这里插入图片描述
        再以E为旋转点，EA进行右单旋，如图：此时我们发现E的平衡因子为0，A的平衡因子为0，B的平衡因子为-1。

        整体流程如图所示：

        至此，我们分析完了所有情况，我们回顾一下，三种不同情况各节点的平衡因子变化情况：

情况一：新节点插入1位置
在这里插入图片描述

情况一：新节点插入2位置

在这里插入图片描述
我们发现，节点A和节点B的平衡因子都变为了0，其余节点的平衡因子都没有发生改变。

        我们再来看看情况二，新节点插入3位置：我们发现，A、B、E三个节点的平衡因子都发生了改变。
在这里插入图片描述
        我们再来看看情况三，新节点插入4位置：我们发现，同样的是A、B、E三个节点的平衡因子发生改变。其余节点的平衡因子没有发生改变。

        代码实现：

    // AVL树的左平衡
    public void leftBalance(ANode ptr){
        ANode leftSub = ptr.leftChild;
        ANode rightSub = null;
        switch(leftSub.balance){
            // 说明新插入节点的位置在1位置或2位置
            case -1:
                leftSub.balance = 0;
                ptr.balance = 0;
                rotateRight(ptr);
                break;
            case 0:
                System.out.println("the tree is balance");
                break;

            // 说明新插入的节点的位置在3位置或4位置，具体情况还要分析
            case 1:
                 rightSub = leftSub.rightChild;
                 switch (rightSub.balance){
                     // 说明插入的是3位置
                     case -1:
                        ptr.balance = 1;
                        leftSub.balance = 0;
                     // 说明插入的是4位置
                     case 1:
                         ptr.balance = 0;
                         leftSub.balance = -1;
                     case 0:
                         ptr.balance = 0;
                         leftSub.balance = 0;
                 }
                 rightSub.balance = 0;
                 rotateLeft(leftSub);
                 rotateRight(ptr);
                 break;
        }
    }