[数学] Topcoder SRM560 Div1 1000. BoundedOptimization

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Coldef/article/details/79665627

本文介绍了一种解决特定类型的优化问题的方法，通过枚举变量的边界和中间值来寻找最大值。利用数学推导简化问题，并通过编程实现算法，最终找到满足约束条件下的最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

可以枚举每个元素的值是上界、下界还是中间值，总共有 $3^n$ 种情况

若存在两个元素 $x_i,x_j$ ，它们都取中间值，且 $x_ix_j$ 不在式子中，

那么设表达式为 $ax_i+bx_j+c$ ，可以发现最有情况肯定是 $x_i$ 或 $x_j$ 达到边界值

设 $k$ 为取中间值的元素的个数

所以表达式可以写作 $\sum_{i\ne j} x_ix_j+\sum a_ix_i$ 其中 $x_i$ 为取中间值的元素

化一下式子得到

\sum k i = 1 x i ( \sum j \neq i x j + 2 a i ) 2

$\sum_{i=1}^k x_i(\sum_{j\ne i} x_j+2a_i)\over 2$

令 $S=\sum_{i=1}^k a_i$

\sum k i = 1 x i ( S - x i + 2 a i ) 2

$\sum_{i=1}^k x_i(S-x_i+2a_i)\over 2$

也就是说 $x_i$ 取 $S+2a_i\over 2$ 最优

但是这样 $\sum x_i$ 可能大于 $S$ ，所以要减小 $x_i$ ，设 $b_i$ 为 $x_i$ 要减去的数

则要最小化 $\sum {(S+2a_i)^2\over 4}-({S+2a_i\over 2}-b_i)({S+2a_i\over 2}+b_i)$

也就是 $\sum b_i^2$ ，当 $b_i$ 全相同的时候取最小值

所以 $x_i$ 减去 $(\sum x_i -S)\over k$ 就好了

算出 $x_i$ 后带入表达式计算一下就好了

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N=20;

int n,l[N],r[N],a[N][N],vis[30],w[N],S;
double ans,val[N];

inline void calc(){
  double rst=S;
  for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    if(!w[i]) continue;
    if(w[i]==1) val[i]=l[i],rst-=l[i];
    else val[i]=r[i],rst-=r[i];
  }
  if(rst<0) return ;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=i+1;j<=n;j++)
      if(!w[i] && !w[j] && !a[i][j]) return ;
  double tot=0; int cnt=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    if(w[i]) continue;
    double cur=0; cnt++;
    for(int j=1;j<=n;j++)
      if(w[j] && a[i][j]) cur+=val[j];
    val[i]=cur+rst/2;
    tot+=val[i];
  }
  if(cnt){
    double k=(tot-rst)/cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(!w[i]) val[i]-=k;
  }
  for(int i=1;i<=n;i++)
    if(val[i]+1e-7<l[i] || val[i]-1e-7>r[i]) return ;
  double cans=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=i+1;j<=n;j++)
      if(a[i][j]) cans+=val[i]*val[j];
  ans=max(ans,cans);
}

void dfs(int x){
  if(x>n) return calc();
  for(int i=0;i<3;i++){
    w[x]=i; dfs(x+1);
  }
}

class BoundedOptimization{
public:
  double maxValue(vector<string> expr,vector<int> lb,vector<int> rb,int maxS){
    n=lb.size(); S=maxS;
    for(int i=1;i<=n;i++) l[i]=lb[i-1],r[i]=rb[i-1];
    string cur;
    for(int i=0;i<expr.size();i++) cur+=expr[i];
    for(int i=0;i<cur.size();i+=3){
      a[cur[i]-'a'+1][cur[i+1]-'a'+1]=a[cur[i+1]-'a'+1][cur[i]-'a'+1]=1;
    }
    dfs(1);
    return ans;
  }
}Main;

int main(){
  vector<string> a={ "ca+fc+fa+d", "b+da+", "dc+c", "b", "+ed+eb+ea" };
  vector<int> lb=   { 10, 11, 12, 13, 14, 15 },rb=  { 15, 16, 17, 18, 19, 20 };
  int mS=85;
  printf("%.9lf\b",Main.maxValue(a,lb,rb,mS));
  for(;;);
}