[二进制分组] BZOJ4140. 共点圆加强版

本文深入探讨了一种基于凸包的算法实现,通过分组和二分查找的方式优化了点集的处理过程,达到了O(nlog²n)的时间复杂度。介绍了如何通过合并点集并重构凸包来加速查询效率。

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(xxi)2+(yyi)=x2i+y2i

yi=x2+y22yxy×xi

k=xyd=x2+y22y

就相当于是判断对于所有点 kxi+dy 的最小值是否大于零

发现这样的点就在下凸包上

二进制分组就相当于把点分成 logn 个组,也就是把 n 分成2的幂次的和

比如 13=23+22+20,就把13个点分成8个点,4个点,1个点三个组

每次加点的时候新开一个组,如果这个组与前一个组的大小相同就合并这两个组,每次合并暴力重构。

这样每次查询就相当于在log个凸包上二分一下

复杂度O(nlog2n)

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#define fi first
#define se second

using namespace std;

typedef pair<double,double> PAR;

const int N=500010;
const double eps=-1e-7;

int q,n,cnt,t;
PAR a[N];

bool operator <(PAR a,PAR b){
    return a.fi<b.fi || (a.fi==b.fi && a.se<b.se);
}

inline double GetK(PAR y,PAR x){
    return (y.se-x.se)/(y.fi-x.fi);
}

struct PART{
    vector<PAR> p,Q1;
    int tot,qt1;
    void push(PAR x){
        tot++; p.push_back(x);
    }
    void clear(){
        p.clear(); Q1.clear();
        tot=qt1=0;
    }
    void build(){
        for(int i=0;i<tot;i++) a[i]=p[i];
        sort(a,a+tot);
        qt1=1; Q1.resize(tot+5); Q1[0]=a[0];
        for(int i=1;i<tot;i++){
            while(qt1>1 && GetK(Q1[qt1-1],Q1[qt1-2])-GetK(a[i],Q1[qt1-1])>=eps) qt1--;
            Q1[qt1++]=a[i];
        }
        Q1.resize(qt1+5);
    }
    PAR query(vector<PAR> Q,int qt,double k){
        int l=0,r=qt-1,mid,ret=0;
        while(l<=r){
            mid=l+r>>1;
            if(mid==0 || k-GetK(Q[mid],Q[mid-1])>eps) l=(ret=mid)+1;
            else r=mid-1;
        }
        //printf("%d\n",ret);
        return Q[ret];
    }
    bool query(double x,double y){
        double k=-x/y,b=(x*x+y*y)/(2*y);
        /*for(int i=0;i<qt1;i++)
            printf("%lf %lf\n",Q1[i].fi,Q1[i].se);*/
        PAR cur=query(Q1,qt1,k);
        return 2*x*cur.fi+2*y*cur.se-x*x-y*y>1e-7;
    }
}B[20];

inline void Add(double x,double y){
    B[++t].push(PAR(x,y));
    while(t>1 && B[t].tot==B[t-1].tot){
        for(int i=0;i<B[t].tot;i++)
            B[t-1].push(B[t].p[i]);
        B[t].clear(); t--;
    }
    B[t].build();
}

inline int Query(double x,double y){
    if(t==0) return 0;
    for(int i=1;i<=t;i++)
        if(!B[i].query(x,y)) return 0;
    return 1;
}

int main(){
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        double x,y; int opt;
        scanf("%d%lf%lf",&opt,&x,&y);
        x+=cnt; y+=cnt;
        if(opt==0) Add(x,y);
        else puts(Query(x,y)?(cnt++,"Yes"):"No");   
    }
    return 0;
}
### 关于 BZOJ1728 Two-Headed Cows (双头牛)算法解析 此问题的核在于如何通过有效的图论方法解决给定约束下的最大独立集问题。以下是详细的分析和解答。 #### 问题描述 题目要求在一个无向图中找到最大的一集合,使得这些节之间满足特定的颜色匹配条件。具体来说,每条边连接两个节,并附带一种颜色标记(A 或 B)。对于任意一条边 \(u-v\) 和其对应的颜色 \(c\),如果这条边属于最终选取的子集中,则必须有至少一个端未被选入该子集或者两端均符合指定颜色关系。 #### 解决方案概述 本题可以通过 **二分枚举 + 图染色验证** 来实现高效求解。核思想如下: 1. 假设当前最优解大小为 \(k\),即尝试寻找是否存在一个大小为 \(k\) 的合法子集。 2. 枚举每一个可能作为起的节并将其加入候选子集。 3. 对剩余部分执行基于 BFS/DFS 的图遍历操作,在过程中动态调整其他节的状态以确保整体合法性。 4. 如果某次试探能够成功构建符合条件的大规模子集,则更新答案;反之则降低目标值重新测试直至收敛至最佳结果。 这种方法利用了贪策略配合回溯机制来逐步逼近全局最优[^1]。 #### 实现细节说明 ##### 数据结构设计 定义三个主要数组用于记录状态信息: - `color[]` : 存储每个所分配到的具体色彩编号; - `used[]`: 表示某个定是否已经被处理过; - `adjList[][]`: 记录邻接表形式表示的原始输入数据结构便于后续访问关联元素。 ##### 主要逻辑流程 ```python from collections import deque def check(k, n): def bfs(start_node): queue = deque([start_node]) used[start_node] = True while queue: u = queue.popleft() for v, c in adjList[u]: if not used[v]: # Assign opposite color based on edge constraint 'c' target_color = ('B' if c == 'A' else 'A') if color[u]==c else c if color[v]!=target_color and color[v]!='?': return False elif color[v]=='?': color[v]=target_color queue.append(v) used[v] =True elif ((color[u]==c)==(color[v]==('B'if c=='A'else'A'))): continue return True count=0 success=True for i in range(n): if not used[i]: temp_count=count+int(color[i]=='?' or color[i]=='A') if k<=temp_count: color_copy=color[:] if bfs(i): count=temp_count break else : success=False return success n,m=list(map(int,input().split())) colors=[['?']*m]*n for _ in range(m): a,b,c=input().strip().split() colors[int(a)-1].append((int(b),c)) low ,high,res=0,n,-1 while low<=high: mid=(low+high)//2 color=['?']*n used=[False]*n if check(mid,n): res=mid low=mid+1 else : high=mid-1 print(res) ``` 上述代码片段展示了完整的程序框架以及关键函数 `check()` 的内部运作方式。它接受参数 \(k\) 并返回布尔值指示是否有可行配置支持如此规模的选择[^2]。 #### 复杂度分析 由于采用了二分查找技术缩小搜索空间范围再加上单轮 DFS/BFS 时间复杂度 O(V+E),总体性能表现良好适合大规模实例运行需求。 ---
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