[二进制分组] BZOJ4140. 共点圆加强版

最新推荐文章于 2021-09-16 22:53:12 发布

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分类专栏：二进制分组

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本文深入探讨了一种基于凸包的算法实现，通过分组和二分查找的方式优化了点集的处理过程，达到了O(nlog²n)的时间复杂度。介绍了如何通过合并点集并重构凸包来加速查询效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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$(x-x_i)^2+(y-y_i)=x_i^2+y_i^2$

$y_i={x^2+y^2\over 2y}-{x\over y}\times x_i$

另 $k=-{x\over y}，d={x^2+y^2\over 2y}$

就相当于是判断对于所有点 $kx_i+d-y$ 的最小值是否大于零

发现这样的点就在下凸包上

二进制分组就相当于把点分成 $\lfloor \log n\rfloor$ 个组，也就是把 $n$ 分成2的幂次的和

比如 $13=2^3+2^2+2^0$ ，就把13个点分成8个点，4个点，1个点三个组

每次加点的时候新开一个组，如果这个组与前一个组的大小相同就合并这两个组，每次合并暴力重构。

这样每次查询就相当于在log个凸包上二分一下

复杂度 $O(n\log^2 n)$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#define fi first
#define se second

using namespace std;

typedef pair<double,double> PAR;

const int N=500010;
const double eps=-1e-7;

int q,n,cnt,t;
PAR a[N];

bool operator <(PAR a,PAR b){
    return a.fi<b.fi || (a.fi==b.fi && a.se<b.se);
}

inline double GetK(PAR y,PAR x){
    return (y.se-x.se)/(y.fi-x.fi);
}

struct PART{
    vector<PAR> p,Q1;
    int tot,qt1;
    void push(PAR x){
        tot++; p.push_back(x);
    }
    void clear(){
        p.clear(); Q1.clear();
        tot=qt1=0;
    }
    void build(){
        for(int i=0;i<tot;i++) a[i]=p[i];
        sort(a,a+tot);
        qt1=1; Q1.resize(tot+5); Q1[0]=a[0];
        for(int i=1;i<tot;i++){
            while(qt1>1 && GetK(Q1[qt1-1],Q1[qt1-2])-GetK(a[i],Q1[qt1-1])>=eps) qt1--;
            Q1[qt1++]=a[i];
        }
        Q1.resize(qt1+5);
    }
    PAR query(vector<PAR> Q,int qt,double k){
        int l=0,r=qt-1,mid,ret=0;
        while(l<=r){
            mid=l+r>>1;
            if(mid==0 || k-GetK(Q[mid],Q[mid-1])>eps) l=(ret=mid)+1;
            else r=mid-1;
        }
        //printf("%d\n",ret);
        return Q[ret];
    }
    bool query(double x,double y){
        double k=-x/y,b=(x*x+y*y)/(2*y);
        /*for(int i=0;i<qt1;i++)
            printf("%lf %lf\n",Q1[i].fi,Q1[i].se);*/
        PAR cur=query(Q1,qt1,k);
        return 2*x*cur.fi+2*y*cur.se-x*x-y*y>1e-7;
    }
}B[20];

inline void Add(double x,double y){
    B[++t].push(PAR(x,y));
    while(t>1 && B[t].tot==B[t-1].tot){
        for(int i=0;i<B[t].tot;i++)
            B[t-1].push(B[t].p[i]);
        B[t].clear(); t--;
    }
    B[t].build();
}

inline int Query(double x,double y){
    if(t==0) return 0;
    for(int i=1;i<=t;i++)
        if(!B[i].query(x,y)) return 0;
    return 1;
}

int main(){
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        double x,y; int opt;
        scanf("%d%lf%lf",&opt,&x,&y);
        x+=cnt; y+=cnt;
        if(opt==0) Add(x,y);
        else puts(Query(x,y)?(cnt++,"Yes"):"No");   
    }
    return 0;
}