[BZOJ3239][BSGS]Discrete Logging

本文详细介绍了解决模指数方程Ax≡B(mod P)的最小非负整数解的方法——BSGS算法。通过将未知数x表示为两部分的和,并利用费马小定理简化逆元的计算过程。

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题意

AxB(mod P)Ax≡B(mod P)的最小非负整数解


BSGS裸题

自己推一下:

x=im+jx=im+jm=qm=⌈q⌉

AimAjB(mod P)AimAj≡B(mod P)

AjBinv(Aim)(mod P)Aj≡B∗inv(Aim)(mod P)

已知inv(1)=1inv(1)=1

由费马小定理得inv(Aim)=inv(A(i1)m)Ap1m mod Pinv(Aim)=inv(A(i−1)m)∗Ap−1−m mod P(详细见代码后*)

那么inv就可以处理出来了。

A0...mA0...mhash存一下

再求Binv(A(1...m)m)B∗inv(A(1...m)m)在hash表中查找。

#include <cstdio>
#include <map>
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

int p,b,n;
map<int,int> Mp;

inline int powf(ll x,int y,int p){
  int k=1; x%=p;
  while(y){
    if(y&1) k=k*x%p;
    x=x*x%p;
    y>>=1;
  }
  return k;
}

inline void solve(int y,int z,int p){
  y%=p;
  if(!y&&!z) {puts("1");return;}
  if(!y) {puts("no solution");return;}
  ll t=ceil(sqrt(p)),k=1,ine=1;
  Mp.clear(); Mp[1]=0;
  for(int i=1;i<t;i++){
    k=1ll*k*y%p;
    if(Mp.count(k)) continue;
    Mp[k]=i;
  }
  int tmp=powf(y,p-t-1,p);
  for(int i=0;i<t;i++){
    if(Mp.count(z*ine%p)) {printf("%d\n",i*t+Mp[z*ine%p]);return;}
    ine=1ll*ine*tmp%p;
  }
  puts("no solution");
}

int main(){
  while(~scanf("%d%d%d",&p,&b,&n)) solve(b,n,p);
}

*inv(Aim)=inv(A(i1)m)Ap1mmodPinv(Aim)=inv(A(i−1)m)∗Ap−1−mmodP

proof.proof.

inv(A(i1)m)=1Aimminv(A(i−1)m)=1Aim−m

inv(A(i1)m)Ap1m=Ap1mAimminv(A(i−1)m)∗Ap−1−m=Ap−1−mAim−m上下同乘AmAm

Ap1mAimm=Ap1AimAp−1−mAim−m=Ap−1Aim

又因为费马小定理Ap11(modp)Ap−1≡1(modp)

Ap1Aimmodp=1Aimmodp=inv(Aim)Ap−1Aimmodp=1Aimmodp=inv(Aim)

所以inv(Aim)=inv(A(i1)m)Ap1m mod Pinv(Aim)=inv(A(i−1)m)∗Ap−1−m mod P

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