JZOJ 3765【BJOI2014】想法

最新推荐文章于 2023-11-10 09:51:40 发布

Cold_Chair

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分类专栏：随机算法文章标签：信息学 BJOI 随机算法

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本文介绍了一种利用随机算法解决组合问题的方法，并通过一个具体的题目示例，详细讲解了从初始想法到最终组合题目的过程及算法实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description:

小强和阿米巴是好朋友。

小强要出一套题目。他的题目以涉及面广（偏）、考察深入（怪）、思维强度大（难）著称。他为了出题，一共攒了M个本质不同的想法，每个想法形成了一个题目。不过，他觉得拿这些题目去考察选手会把比赛搞的太过变态，所以，想请阿米巴来帮忙调整一下他的题目。

阿米巴指出，为了让一场考试的题目的考察点尽量全面，有一个通用的做法叫做“组合”。如果把两个题目A和B组合在一起，那么组合而成的题目涉及到的想法的集合就是A涉及到的想法的集合和B涉及到的想法的集合的并。

并且，题目是可以反复组合的。

例如，小强现在有三个想法1,2,3，分别对应了题目P1,P2,P3。

现在，小强把P1和P2组合得到P4。P4涉及的想法的集合是{1,2}。

之后，小强把P2和P3组合得到P5。P5涉及的想法的集合是{2,3}。

最后，小强把P4和P5组合得到P6。P6涉及的想法的集合是{1,2,3}。

现在，小强告诉你每个题目都是如何组合而来的。你要回答的就是，每个题目涉及的想法的集合有多大。

不过，这个问题是很难的。于是，你只需要能够以比较高的概率回答的比较准确即可。

Input:

第一行两个整数N，M，依次表示小强的题目数量和想法的数量

接下来N-M行，每行两个整数，依次表示小强组合出来的题目都是由哪两个题组合而成的。M个想法对应的题目依次编号为1~M。之后，小强组合出来的第一个题编号为M+1，组合出来的第二个题编号为M+2，依次类推。

Output:

输出N-M行，每行一个整数表示小强组合出来的每个题都涉及了几个想法。

Sample Input:

6 3
1 2
2 3
4 5

Sample Output:

2
2
3

Data Constraint:

对于30%的数据，M≤1000,N≤10000
对于60%的数据，M≤10000,N≤100000
对于100%的数据，M≤100000,N≤1000000

Hint:

对于每个输出文件，如果其中你有95%以上的行的答案和正确答案的误差不超过25%，那么你就可以得到分数。所谓误差不超过25%，即，如果正确答案是X，那么你的答案在[0.8X,1.25X]这个闭区间内。

题解：

60分很明显可以bitset，我不会用，于是手动压24位的二进制。
复杂度 $O(2^{24} +n*m/24)$

我们注意到这个SPJ有点吊，于是随机算法可以派上用处。
先给最初的m个题目随机一个值，之后对每个想法存下值前T小的题目，如果题目数小于30，则答案为题目数，否则大概会满足下面的式子RAND_MAX/a[30] = m / Ans，可以多随机几次保证正确率。

Code：

#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define min(a , b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
using namespace std;

const int Maxn = 1000005, Maxm = 100005;
int n, m, xx[Maxn], yy[Maxn];
double ans[Maxn];
int num[Maxm], d[Maxn][35];

int main() {
    freopen("a.in", "r", stdin);
    freopen("a.out", "w", stdout);
    srand((unsigned)time(0));
    scanf("%d %d", &n, &m);
    fo(i, m + 1, n) scanf("%d %d", &xx[i], &yy[i]);
    fo(T, 1, 5000000 / n) {
        fo(i, 1, n) num[i] = rand()+1;
        fo(i, 1, m) d[i][0] = 1, d[i][1] = i;
        fo(i, m + 1, n) {
            d[i][0] = 0;
            int l = 1, r = 1;
            int x = xx[i], y = yy[i];
            while((l <= d[x][0] || r <= d[y][0]) && d[i][0] < 30) {
                if(l > d[x][0]) {
                    if(d[i][d[i][0]] != d[y][r]) d[i][++ d[i][0]] = d[y][r];
                    r ++;
                    continue;
                }
                if(r > d[y][0]) {
                    if(d[i][d[i][0]] != d[x][l]) d[i][++ d[i][0]] = d[x][l];
                    l ++;
                    continue;
                }
                if(num[d[x][l]] < num[d[y][r]] || (num[d[x][l]] == num[d[y][r]] && d[x][l] <= d[y][r])) {
                    if(d[i][d[i][0]] != d[x][l]) d[i][++ d[i][0]] = d[x][l];
                    l ++;
                } else {
                    if(d[i][d[i][0]] != d[y][r]) d[i][++ d[i][0]] = d[y][r];
                    r ++;
                }
            }
            if(d[i][0] < 30)
                ans[i] += d[i][0]; else
                ans[i] += (double)30 * RAND_MAX / num[d[i][30]] - 1;
        }
    }
    fo(i, m + 1, n) printf("%lld\n", (ll)ans[i] / (5000000 / n));

}