高数强化NO1|极限的概念、性质及计算|函数|函数的运算|基本性质|常用公式

函数

函数的概念

若 $D$ 为一个非空实数集合，设有一个对应法则 $f$，使得对每一个 $x\in D$ 都有一个确定的实数 $y$ 与之对应，则称这个对应法则 $f$ 为定义在 $D$ 上的一个函数，或称变量 $y$ 是变量 $x$ 的函数，记作 $y=f(x),x\in D$。其中 $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，集合 $D$ 称为函数的定义域，也可以记作 $D(f)$。对于 $x_0\in D$ 所对应的 $y$ 的值，记作 $y_0$ 或 $y=f(x_0)$，称为当 $x=x_0$ 时函数 $y=f(x)$ 的函数值。全体函数值组成的集合 {y∣y=f(x),x∈D}\{ y \mid y = f(x), x \in D \}{y∣y=f(x),x∈D}，称为函数 $y=f(x)$ 的值域，记 $f(D)$。
$$\begin{array}{rl}& \text{【注】①两个函数相等当且仅当它们的定义域与对应法则均相等.}\\ & ②\text{在没有特别指定的情况下，函数的定义域取自然定义域，即使函数运算有意义的自变量的取值范围.}\\ & \text{易知，人为指定的定义域必为自然定义域的子集.常见的函数的自然定义域如下：}\\ & \\ & \begin{array}{rlr}& y=\sqrt{x},x\ge 0;& y=\frac{1}{x},x\ne 0;\\ & y=\ln x,x>0;& y=e^x,x\in \mathbb{R};\\ & y=\sin x,x\in \mathbb{R};& y=\cos x,x\in \mathbb{R};\\ & y=\tan x,x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;& y=\cot x,x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z}).\end{array}\end{array}$$

函数的运算

四则运算

复合函数

$$\begin{array}{rl}& \text{设 }y=f(u),u\in D_1\text{ 与 }u=g(x),x\in D_2\text{ 为两个函数，如果 }g(x)\text{ 的值域 }g(D_2)\text{ 包含于}\\ & f(u)\text{ 的定义域 }{D}_1\text{，则可以定义 }y=f(g(x)),x\in D_2\text{ 为函数 }f(u)\text{ 与 }g(x)\text{ 的复合函数，}\\ & \text{记作 }y=f(g(x)).\end{array}$$

反函数

1. 反函数的定义
   $$\begin{array}{rl}& \text{设 }y=f(x)\text{ 为定义在 }D\text{ 上的一个函数，其值域为 }f(D)\text{。如果对于每一个}\\ & y\in f(D)\text{，都有唯一确定的 }x\text{ 使得 }f(x)=y\text{，我们就将该对应法则记作 }{f}^{-1}\text{，这个定义}\\ & \text{在 }f(D)\text{ 上的函数 }x=f^{-1}(y)\text{ 就称为函数 }y=f(x)\text{ 的反函数，或称它们互为反函数。}\end{array}$$
2. 存在反函数的充要条件
   $$\begin{array}{rl}& \text{函数 }y=f(x)\text{ 存在反函数的充要条件是 }y\text{ 与 }x\text{ 一一对应.}\end{array}$$
3. 反函数的性质
   $$\begin{array}{rl}& ①\text{函数 }y=f(x)\text{ 与其反函数 }y=f^{-1}(x)\text{ 的图像关于直线 }y=x\text{ 对称.}\\ & ②\text{设函数 }y=f(x)\text{ 的定义域为 }(a,b)\text{，值域为 }(\alpha ,\beta )\text{，}y=f(x)\text{ 在 }(a,b)\text{ 内单调增加}\\ & \text{（或减少），则 }y=f(x)\text{ 在 }(a,b)\text{ 内存在反函数；}x=f^{-1}(y)\text{ 在 }(\alpha ,\beta )\text{ 内单调增加（或}\\ & \text{减少）.}\end{array}$$

基本性质

单调性

1. 定义
   $$\begin{array}{rl}& \text{对于函数 }y=f(x),x\in D\text{，如果在某区间 }I\text{ 内的任意两点 }{x}_1>x_2\text{ 都满足}\\ & f(x_1)>f(x_2)\text{（或 }f(x_1)<f(x_2)\text{），则称函数 }f(x)\text{ 在 }I\text{ 上单调增加（或单调减少），}\\ & \text{相应地称 }I\text{ 是 }f(x)\text{ 的一个单调增加区间（或单调减少区间）。如果对区间 }I\text{ 内的任意两}\\ & \text{点 }{x}_1>x_2\text{ 都有 }f(x_1)\ge f(x_2)\text{（或 }f(x_1)\le f(x_2)\text{），我们就称函数 }f(x)\text{ 在 }I\text{ 上单调不}\\ & \text{减（或单调不增）。}\end{array}$$
2. 性质
   $$\begin{array}{rl}& ①\text{如果 }{f}_1(x),f_2(x)\text{ 都是增函数（或减函数），则 }{f}_1(x)+f_2(x)\text{ 也是增函数（或减函数）.}\\ & ②\text{设 }f(x)\text{ 是增函数，如果常数 }C>0\text{，则 }Cf(x)\text{ 是增函数；如果常数 }C<0\text{，则 }Cf(x)\\ & \text{是减函数.}\\ & ③\text{如果函数 }y=f(u)\text{ 与函数 }u=g(x)\text{ 增减性相同，则 }y=f(g(x))\text{ 为增函数；如果函数}\\ & y=f(u)\text{ 与函数 }u=g(x)\text{ 增减性相反，则 }y=f(g(x))\text{ 为减函数.}\end{array}$$

周期性

1. 定义
   $$\begin{array}{rl}& \text{对于函数 }y=f(x),x\in D\text{，如果存在正数 }T\text{，使得对函数 }y=f(x)\text{ 在其定义域 }D\\ & \text{内的任意一点 }x\text{ 都有 }f(x\pm T)=f(x)\text{，则称 }f(x)\text{ 是一个周期函数，而 }T\text{ 是 }f(x)\text{ 的一}\\ & \text{个周期.易知如果 }T\text{ 是 }f(x)\text{ 的一个周期，那么对任意的非零整数 }n\text{，}nT\text{ 都是 }f(x)\text{ 的}\\ & \text{周期.在 }f(x)\text{ 的所有周期中，我们把其中最小的正数称为最小正周期.}\end{array}$$
   $$\begin{array}{rl}& \text{【注】常见周期函数及其最小正周期：}\\ & y=\sin x,T=2\pi ;y=\cos x,T=2\pi ;\\ & y=\tan x,T=\pi ;y=\cot x,T=\pi .\end{array}$$
2. 性质
   $$\begin{array}{rl}& ①\text{如果 }f(x)\text{ 以 }T\text{ 为最小正周期，则对任意的非零常数 }C\text{，}Cf(x)\text{ 仍然以 }T\text{ 为最小正周}\\ & \text{期，}f(Cx)\text{ 以 }\frac{T}{|C|}\text{ 为最小正周期.}\\ & ②\text{如果 }{f}_1(x),f_2(x)\text{ 都以 }T\text{ 为周期，则 }{k}_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x)\text{ 仍然以 }T\text{ 为周期（}{k}_1,k_2\in \mathbb{R}\text{）.}\\ & \text{注意这时最小正周期有可能缩小，如 }{f}_1(x)=\cos 2x+\sin x,f_2(x)=\sin x\text{ 都以 }2\pi \text{ 为最}\\ & \text{小正周期，但 }{f}_1(x)-f_2(x)=\cos 2x\text{ 以 }\pi \text{ 为最小正周期.}\end{array}$$

奇偶性

1. 定义
   $$\begin{array}{rl}& \text{设函数 }f(x)\text{ 的定义域 }D\text{ 关于原点对称.如果对其定义域 }D\text{ 内的任意一点 }x\text{，都有}\\ & f(-x)=f(x)\text{（或 }f(-x)=-f(x)\text{），则称 }f(x)\text{ 是一个偶函数（或奇函数）.}\end{array}$$
2. 常见的奇偶函数
   $$\begin{array}{rl}& \text{常见的奇函数：}y=x^k(\text{其中 }k\text{ 为奇数})，y=\sin x，y=\tan x，y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)；\\ & \\ & \text{常见的偶函数：}y=x^k(\text{其中 }k\text{ 为偶数})，y=\cos x，y=|x|.\end{array}$$
3. 性质
   $$\begin{array}{rl}& ①\text{偶函数的图像关于 }y\text{ 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；}\\ & ②\text{如果 }{f}_1(x),f_2(x)\text{ 都是奇函数（或偶函数），则对任意的常数 }{k}_1,k_2\in \mathbb{R}，\\ & k_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x)\text{ 仍然是奇函数（或偶函数）；}\\ & ③\text{如果 }{f}_1(x),f_2(x)\text{ 奇偶性相同，则 }{f}_1(x)f_2(x)\text{ 为偶函数；如果 }{f}_1(x),f_2(x)\text{ 奇偶性相反，}\\ & \text{则 }{f}_1(x)f_2(x)\text{ 为奇函数；}\\ & ④\text{设 }f(x)\text{ 为任一定义在对称区间上的函数，}f(|x|)，\frac{f(x)+f(-x)}{2}\text{ 与 }f(x)f(-x)\text{ 都}\\ & \text{是偶函数；}\frac{f(x)-f(-x)}{2}\text{ 是奇函数；}\\ & ⑤\text{任意定义在对称区间上的函数 }f(x)\text{ 都可以写成一个偶函数与一个奇函数的和，}\\ & f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}.\end{array}$$

有界性

1. 定义
   $$\begin{array}{rl}& \text{设 }y=f(x),x\in D\text{ 是一个函数. 如果存在一个实数 }M\text{，使得对定义域 }D\text{ 内任意的}\\ & \text{一点 }x\text{，都有 }f(x)\le M\text{，则称函数 }f(x)\text{ 在 }D\text{ 内有上界，并称 }M\text{ 是函数 }f(x)\text{ 在 }D\text{ 内}\\ & \text{的一个上界；如果存在一个实数 }m\text{，使得对定义域 }D\text{ 内任意的一点 }x\text{，都有 }f(x)\ge m\text{，}\\ & \text{则称函数 }f(x)\text{ 在 }D\text{ 内有下界，并称 }m\text{ 是函数 }f(x)\text{ 在 }D\text{ 内的一个下界.}\\ & \\ & \text{如果函数 }f(x)\text{ 在 }D\text{ 内既有上界又有下界，则称 }f(x)\text{ 在 }D\text{ 内有界.}\end{array}$$
2. 常见的有界函数
   $$\begin{array}{rl}& f(x)=\sin x，|f(x)|\le 1；\\ & \\ & f(x)=\text{sgn }x=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}，|f(x)|\le 1；\\ & \\ & f(x)=\arcsin x,x\in [-1,1]，|f(x)|\le \frac{\pi }{2}.\end{array}$$

函数分类

基本初等函数

幂函数，指数函数，对数函数，三角函数与反三角函数称为基本初等函数.
以下为几个常见的基本初等函数的图像及性质：

初等函数

$$\begin{array}{rl}& \text{由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合步骤所构成并可用}\\ & \text{一个式子表示的函数，称为初等函数.}\\ & \\ & \text{形如 }u(x{)}^{v(x)}\text{ 的函数称为幂指函数，处理幂指函数的方法是对数恒等变形化为}\\ & u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}.\end{array}$$

分段函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x),& x\in I_1\\ h(x),& x\in I_2\end{array};$$

1. 符号函数
   $$\begin{array}{rl}& \text{sgn }x=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array};\end{array}$$
2. 绝对值函数
   $$|f(x)|=\{\begin{array}{ll}f(x),& f(x)\ge 0\\ -f(x),& f(x)<0\end{array};$$
3. 取整函数
   $$\left[f(x)\right]：不超过f(x)的最大整数值；$$
4. 最大值函数
   max⁡{f(x),g(x)}={f(x),f(x)≥g(x)g(x),f(x)<g(x); \begin{aligned} &\max\left\{ f(x), g(x) \right\} = \begin{cases} f(x), & f(x) \geq g(x) \\ g(x), & f(x) < g(x) \end{cases}; \end{aligned} ​max{f(x),g(x)}={f(x),g(x),​f(x)≥g(x)f(x)<g(x)​;​
5. 最小值函数
   min⁡{f(x),g(x)}={g(x),f(x)≥g(x)f(x),f(x)<g(x). \begin{aligned} &\min\left\{ f(x), g(x) \right\} = \begin{cases} g(x), & f(x) \geq g(x) \\ f(x), & f(x) < g(x) \end{cases}. \end{aligned} ​min{f(x),g(x)}={g(x),f(x),​f(x)≥g(x)f(x)<g(x)​.​

隐函数

$$\begin{array}{rl}& \text{由形如 }F(x,y)=0\text{ 的方程确定的函数关系 }y=y(x)\text{，一般没有明显的函数表达式.}\end{array}$$

参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ].$$

极限函数

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{nx}{n(x-1)+1}.$$

积分上限函数

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt.$$

常用公式

代数

1. 幂函数公式
   $$\begin{array}{rl}& x^{-a}=\frac{1}{x^a}(x\ne 0),x^a\cdot x^b=x^{a+b},(x^a{)}^k=x^{ak}.\end{array}$$
2. 对数公式
   $$\begin{array}{rl}& \ln a+\ln b=\ln (ab),k\ln a=\ln a^k,\text{其中 }a>0,b>0.\end{array}$$
3. 一元二次方程（ $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$）
   $$\begin{array}{rl}& \text{图像：若 }a>0，\text{开口向上；若 }a<0，\text{开口向下；对称轴为 }x=\frac{-b}{2a}。\\ & \\ & \text{求根公式：}x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}。\\ & \\ & \text{解的判定：当 }{b}^2-4ac>0\text{ 时，有两个不同的实根；当 }{b}^2-4ac=0\text{ 时，有两个相等的}\\ & \text{实根；当 }{b}^2-4ac<0\text{ 时，有两个共轭复根。}\\ & \\ & \text{韦达定理：}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}，x_1{x}_2=\frac{c}{a}。\end{array}$$
4. 多项式公式
   $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^k{b}^{n-k},a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}\right).$$
5. 常用不等式
   $$\begin{array}{rl}& |a\pm b|\le |a|+|b|,a^2+b^2>2ab,\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}.\\ & \\ & \text{当 }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{ 时，}\sin x<x<\tan x；\text{ 当 }x>0\text{ 时，}\ln (1+x)<x<e^x-1.\end{array}$$
6. 数列公式
   $$\begin{array}{rl}& \text{等差数列（设首项为}{a}_1,\text{公差为}d\text{）：通项}{a}_n=a_1+(n-1)d,\text{前}n\text{项和}{S}_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}。\\ & \\ & \text{等比数列（设首项为}{a}_1,\text{公比为}q\text{）：通项}{a}_n=a_1{q}^{n-1},\text{前}n\text{项和}{S}_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\ne 1)。\\ & \\ & \text{无穷项等比数列求和：当}|q|<1\text{时，}S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}。\end{array}$$

三角函数

1. 函数关系
   $$\begin{array}{rl}& \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha },\sec x=\frac{1}{\cos x},\csc x=\frac{1}{\sin x}\\ & \\ & {\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1,1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x,1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x.\end{array}$$
2. 诱导公式
   $$\begin{array}{rl}& \sin (-x)=-\sin x,\cos (-x)=\cos x,\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x,\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x,\\ & \\ & \sin (\pi -x)=\sin x,\cos (\pi -x)=-\cos x.\end{array}$$
3. 二角和差公式
   $$\begin{array}{rl}& \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta (\text{异名同号}),\\ & \\ & \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta (\text{同名异号}),\\ & \\ & \sin 2x=2\sin x\cos x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x},\\ & \\ & \cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x},\\ & \\ & \tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta },\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}.\end{array}$$
4. 积化和差与和差化积
   $$\begin{array}{rl}& \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\right],\\ & \\ & \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}.\end{array}$$

几何

1. 面积和体积公式
   $$\begin{array}{rl}& \text{三角形：面积}S=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}；\\ & \\ & \text{梯形：面积}S=\frac{1}{2}\times (\text{上底}+\text{下底})\times \text{高}；\\ & \\ & \text{圆：周长}l=2\pi r，\text{弧长}l=2\pi r\cdot \frac{\theta }{2\pi }=r\theta ；\text{面积}S=\pi r^2，\text{扇形面积}S=\pi r^2\cdot \frac{\theta }{2\pi }=\frac{r^2\theta }{2}；\\ & \\ & \text{椭圆}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\right)\text{面积：}S=\pi ab；\\ & \\ & \text{柱体体积：}V=\text{底面积}\times \text{高}；\\ & \\ & \text{圆锥体积：}V=\frac{1}{3}\times \text{底面积}\times \text{高}；\\ & \\ & \text{球体积：}V=\frac{4}{3}\pi r^3，\text{表面积：}S=4\pi r^2。\end{array}$$
2. 平面解析几何
   $$\begin{array}{rl}& \text{两点}(x_1,y_1)\text{与}(x_2,y_2)\text{距离}d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2},\text{斜率}k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}；\\ & \\ & \text{直线方程：}y-y_1=k(x-x_1)；\\ & \\ & \text{圆的方程：}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2。\text{圆心为}(a,b)，\text{半径为}r；\\ & \\ & \text{椭圆方程：}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1；\\ & \\ & \text{双曲线方程：}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1。\end{array}$$

导数

$$\begin{array}{rl}& (c{)}^{\prime }=0,(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1},(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x,\\ & \\ & (\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x,(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x,(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x,\\ & \\ & (a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a(a>0,a\ne 1),(e^x{)}^{\prime }=e^x,\\ & \\ & ({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1),(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x},\\ & \\ & (\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\\ & \\ & (\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2},(\text{arc}\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}.\end{array}$$