Floyd判环算法(龟兔赛跑算法),一定会相遇吗?

弗洛伊德判圈算法 先来看链表是否有环的判断 设链表起始节点为H,回路起始节点为S,两指针第一次相遇节点为M。 设回路的长度为c,S到M的距离为c1,M到S的距离为c2。 设H到S的距离为d。 设hare每次移动2,tortoise每次移动1。移动k次后两者相遇。不难发现,H到M的距离为k。 为了便于理解,请参考下图:由已知条件,可得到下列等式: hare和tortoise相遇时,hare套了tortoi 阅读详情

仅考虑,两指针都进入了环那一刻: 设在环中: 指针1位置:$0$,步长:$l_1$ 指针2位置:$d$ ,步长:$l_2$ 圈长:$C$ 第n步时: 指针1: $n\c_dot l_1 = aC+p_1$ 指针2: $n\c_dot l_2 +d= bC+p_2$ 若指针1,指针2不能相遇,即证明:不存在 $a,b \in N \Rightarrow p_1=p_2 $, 其中$p_1,p_2$为指针1和指针2在环中位置。 两式相减: 证明: $n(l_1-l_2)=(a-b)C+d s.t. a,b \in N$ 无解 画图,容易看出,会存在整数解,使得两直线相交 所以无解不成立,所以会相遇

仅考虑,两指针都进入了环那一刻:
设在环中:
指针1位置:$0$,步长:$l_1$
指针2位置:$d$ ,步长:$l_2$
圈长:$C$
第n步时:
指针1位置: $nl_1 = aC+p_1$
指针2位置:$nl_2 +d= bC+p_2$

若指针1,指针2不能相遇,即证明:不存在$a,b \in N \Rightarrow p_1=p_2 $, 其中$p_1,p_2$为指针1和指针2在环中位置。
两式相减:
证明:$n(l_1-l_2)=(a-b)C+d \quad s.t. \quad a,b \in N$ 无解


画图,上面就是两条直线y=(l_1-l_2)x 和y=kx+d,第二条直线过点(C,d)。

容易看出,会存在整数解,使得两直线相交
所以无解不成立,所以会相遇

龟兔赛跑算法(Floyd判圈算法) 龟兔赛跑算法(Floyd判圈算法)——判断是否有环,确定环的起点和长度 阅读详情

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