蓝桥杯小数第n位(数论/无逆元时的同余公式)

最新推荐文章于 2020-07-23 19:40:00 发布

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本文探讨了在特定数学约定下，求解整数除法小数点后任意三位数的算法。通过巧妙运用模幂运算，实现了快速计算。文章包含完整的C++代码实现。

题目

如果我们把有限小数的末尾加上无限多个0，它们就有了统一的形式。

本题的任务是：在上面的约定下，求整数除法小数点后的第n位开始的3位数。

输入三个整数：a b n，a是被除数，b是除数，n是所求的小数后位置（0<a,b,n<1e9）

输出3位数字，表示：a除以b，小数后第n位开始的3位数字。

思路来源

http://xianka.luobotou.org/?p=259

题解

b和1000不一定互质，不一定找得到逆元

引理：

证明：

设 $\frac{a}{b}=kp+x(x<p)$ ，则式子左边=x

$a=k*bp+b*x+c(x<p,c<b)$

$a\equiv b*x+c(mod\ b*p)$ 即 $a\ mod\ (b*p)=b*x+c(c<b)$

有 $\frac{a\ mod\ (b*p)}{b}=x$ ，式子右边=x，故原式成立

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll modpow(ll x,ll n,ll mod)
{
	ll ans=1;
	for(;n;n/=2,x=x*x%mod)
	if(n&1)ans=ans*x%mod;
	return ans;
}
ll a,b,n,v;
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n);
	v=b*1000;
	printf("%lld\n",a%v*modpow(10,n+2,v)%v/b);
	return 0;
}