蓝桥杯波动数列(01背包)

原创已于 2023-10-15 03:00:17 修改 · 882 阅读

2 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#01背包 #蓝桥杯

于 2019-07-26 15:23:12 首次发布

背包九讲专栏收录该内容

21 篇文章

订阅专栏

本文解析了一道蓝桥杯竞赛题目，涉及数列变化规律及01背包问题的转化，通过动态规划求解特定条件下数列的可能组合数量，并提供了解题代码。

题目

观察这个数列：1 3 0 2 -1 1 -2 ...

这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

栋栋想知道长度为 n ，和为 s ，而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列，可能有多少种呢？

输出方案数除以100000007的余数。

对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。

思路来源

蓝桥杯波动数列（01背包方案数）-优快云博客

题解

只过了80分，就这样叭，重在向01背包的转化

设第一项为x，第二项为x+△，第三项为x+2*△，...，第n项为x+(n-1)*△

共有n*(n-1)/2个△，设i项取+a，则n*(n-1)/2-i项取-b

如果s-i*a+(n*(n-1)/2-i)*b为n的倍数，说明存在这样的x，使序列合法

枚举i，取了i个a的时候，统计n-1个数中选i个数的方案数，为01背包，

dp[i][j]代表前i项中放满背包大小为j的方案数，则dp[i][j]=dp[i-1][j]+(j>=i)?dp[i-1][j-i]:0;

只是n<=1e3，这样复杂度是 $O(n^3)$ 的，系数1/2，也无法通过全部样例

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+5;
const int mod=100000007;
int n,s,a,b,up;
ll v;
int dp[2][N*(N+1)/2],now;
int ans; 
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&s,&a,&b);
	dp[now][0]=1;
	for(int i=1;i<n;++i)//只有n-1个增量 
	{
		now=!now;
		up=i*(i+1)/2;
		for(int j=0;j<=up;++j)//01背包 容量 方案数 
		{
			dp[now][j]=dp[!now][j];
			if(j>=i)dp[now][j]=(dp[now][j]+dp[!now][j-i])%mod;
		}
	}
	for(int i=0;i<=up;++i)//s-i*a-(n*(n-1)/2-i)*b 是否被n整除 
	{
		 v=1ll*s-1ll*i*a+1ll*(up-i)*b;
		 if(v%n==0)ans=(ans+dp[now][i])%mod;
	}
	printf("%d\n",ans); 
	return 0;
}