预处理阶乘线性求组合数(板子整理)

本文详细介绍了一种高效的模组合数预处理算法,利用费马小定理和扩展欧几里得算法,实现快速求解大规模组合数问题。通过两个不同精度的代码示例,展示了如何初始化逆元、阶乘及其逆元,以及如何计算组合数。

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视具体情况,改变maxn和mod,

注意mod必为奇素数,才能用费马小定理,

不然用扩展欧几里得

代码1(long long)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353; 
const int N=1e5+10;
ll Finv[N],fac[N],inv[N];
ll modpow(ll x,ll n,ll mod){
	ll res=1;
	for(;n;x=x*x%mod,n/=2)
	if(n&1)res=res*x%mod;
	return res;
}
void init(int n){ //n<N
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=((mod-mod/i)*inv[mod%i])%mod;
	fac[0]=Finv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod,Finv[i]=Finv[i-1]*inv[i]%mod;
	//Finv[n]=modpow(fac[n],mod-2,mod);
	//for(int i=n-1;i>=1;--i)Finv[i]=Finv[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll C(ll n,ll m){
	if(m<0||m>n)return 0;
	return fac[n]*Finv[n-m]%mod*Finv[m]%mod;
}
int main(){
    init(N-5);
	return 0;
}

代码2(int)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353; 
const int N=1e5+10;
int Finv[N],fac[N],inv[N];
int modpow(int x,int n,int mod){
	int res=1;
	for(;n;x=1ll*x*x%mod,n>>=1)
	if(n&1)res=1ll*res*x%mod;
	return res;
}
void init(int n){ //n<N
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	fac[0]=Finv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,Finv[i]=1ll*Finv[i-1]*inv[i]%mod;
	//Finv[n]=modpow(fac[n],mod-2,mod);
	//for(int i=n-1;i>=1;--i)Finv[i]=1ll*Finv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int C(int n,int m){
	if(m<0||m>n)return 0;
	return 1ll*fac[n]*Finv[n-m]%mod*Finv[m]%mod;
}
int main(){
    init(N-5);
	return 0;
}

在编程竞赛或算法实现中,计算组合数(即 $ C(n, m) $)是一个常见的需。由于直接计算阶乘并相除容易导致数据溢出,尤其是在 C++ 等语言中,因此通常会采用模运算和逆元等技巧来优化计算过程。以下是几种适用于不同编程语言的组合数计算模板。 ### Python 实现 Python 的整数精度较高,因此可以直接使用阶乘的方式计算组合数,但这种方式在数据规模较大时效率较低。为了提高性能,可以使用模运算和预处理阶乘及逆元数组的方式。 #### 直接计算组合数(适合小规模) ```python import math def combination(n, m): return math.factorial(n) // (math.factorial(m) * math.factorial(n - m)) ``` #### 预处理阶乘和逆元(适合大规模模运算) ```python MOD = 10**9 + 7 MAX = 10**5 + 5 fact = [1] * MAX inv_fact = [1] * MAX # 预处理阶乘 for i in range(1, MAX): fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD # 快速幂逆元 def mod_pow(a, b, mod): result = 1 a %= mod while b: if b % 2: result = result * a % mod a = a * a % mod b //= 2 return result # 预处理逆元阶乘 inv_fact[MAX - 1] = mod_pow(fact[MAX - 1], MOD - 2, MOD) for i in range(MAX - 2, 0, -1): inv_fact[i] = inv_fact[i + 1] * (i + 1) % MOD def comb(n, m): if m < 0 or m > n: return 0 return fact[n] * inv_fact[m] % MOD * inv_fact[n - m] % MOD ``` ### C++ 实现 在 C++ 中,由于整数溢出问题较为严重,通常采用模运算结合逆元的方法来计算组合数。 #### 预处理阶乘和逆元(适合大规模模运算) ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const long long MOD = 1e9 + 7; const int MAX = 1e5 + 5; long long fact[MAX]; long long inv_fact[MAX]; // 快速幂逆元 long long mod_pow(long long a, long long b, long long mod) { long long res = 1; a %= mod; while (b) { if (b % 2) res = res * a % mod; a = a * a % mod; b /= 2; } return res; } void precompute() { fact[0] = 1; for (int i = 1; i < MAX; ++i) fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD; inv_fact[MAX - 1] = mod_pow(fact[MAX - 1], MOD - 2, MOD); for (int i = MAX - 2; i >= 0; --i) inv_fact[i] = inv_fact[i + 1] * (i + 1) % MOD; } long long comb(int n, int m) { if (m < 0 || m > n) return 0; return fact[n] * inv_fact[m] % MOD * inv_fact[n - m] % MOD; } int main() { precompute(); cout << comb(100000, 50000) << endl; return 0; } ``` ### 总结 在编程竞赛中,计算组合数时应优先考虑使用模运算与逆元的方法,以避免数据溢出问题[^3]。同时,预处理阶乘和逆元数组可以显著提高多次查询的效率。
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