博弈:关于SG函数的一些心得（知识总结+叙述证明+例题）

思路来源

IOI2009集训队论文 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》

翻硬币游戏部分：

https://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3218060.html

树的删边与图的删边部分：

https://blog.youkuaiyun.com/wu_tongtong/article/details/79311284

http://blog.sina.com.cn/s/blog_8f06da990101252l.html

《Game Theory》（其实没有直接用到 但上述几篇都有该博弈书的影子）

 

Anti-Nim游戏

先手必胜当且仅当：

(1)所有堆石子数均为1，且游戏的SG值为0

(2)存在堆石子数大于1，且游戏的SG值不为0

 

口胡证明：

（1）第一种情况，一定是偶数堆1，无论先手怎么取后手只能模仿，故后手必败

（2）第二种情况，分两种子情况，

①有一堆大于1，先手可以把这堆变1或者变0，使剩下的1为奇数堆，

这样后手再取一个1，先手就面临（1）的局面必胜

②有至少2堆（不妨记为第i堆和第j堆）大于1，先手把SG变为0，

这样在i、j堆一直大于等于2的时候，后手把SG变为非0，先手把SG变为0即可

考虑后手的某次操作使得i、j有一堆少于2了（可以为0，也可以为1），

若后手没有增加一堆1，则先手可以增加一堆1，也可以不增加；

若后手若增加一堆1，则先手可以增加一堆1，也可以不增加。

先手总可以保证在游戏未结束的情况下，

使这两堆总共产生的1与场上剩下的1构成奇数堆1

而奇数堆1是必败局面，故先手必胜

人家的证明真是简洁啊我理解了好久

 

Anti-SG游戏&&SJ定理

与SG游戏的概念基本一致，

只是最后一步者负，而SG游戏中最后一步者胜

注意到SG游戏的子游戏都可等价为nim游戏

即sg[i]=k的游戏，可以转化为nim游戏里的一堆有k个的石子

规则：

①先手无法操作的为必胜态，即所有单一游戏SG值均为0时停止游戏

②其余与SG函数适用范围均相同

SJ定理

其实由Anti-Nim可以立刻得出，

先手胜当且仅当：

①所有单一游戏SG值均为1，且游戏的SG值为0

②存在单一游戏SG值大于1，且游戏SG值不为0

简记为：①全1，为0 ②不全1，不为0

只需讨论以下四种情况，

①所有单一游戏SG值均为1，且游戏的SG值为0

②所有单一游戏SG值均为1，且游戏的SG值不为0

③存在单一游戏SG值大于1，且游戏SG值不为0

④存在单一游戏SG值大于1，且游戏SG值为0

其中①③是必胜态，②④是必败态，

只需证明，①③只能转移到②④，②④只能转移到①③，

且最后的必败态只有一个子游戏SG值为1其余均为0，是可以由①③转移过来的

 

口胡证明：

类似数学归纳，①③是奇数，②④是偶数，

然后奇数只能转移到偶数，偶数只能转移到奇数，

又因为1是必胜态，所以奇数是必胜态，偶数是必败态

大致证明就是这个思路

具体证明：

见《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》P11-P13

一点小说明：

只要有一个局面出现全0，即认为游戏结束，

若在该局面下先手还能将其变为仅一堆1的情况，

后手只能取这堆1从而使后手败，这与原局面是等价的

 

Multi-SG游戏

即一个局面的后继可以为多个子游戏，

即一个sg值的后继可以为多个子游戏sg值的异或

比如可以把一堆石子分成若干堆非空石子

如hdu5795，算sg值的时候，考虑这些后继情况即可

 

Every-SG游戏

即多个没结束的游戏一起玩，每个没结束的游戏都必须决策，

且必胜的局面希望玩久一点，必败的局面希望玩快一点

若v的后继为u，则

①step[v]=0，v为终止状态

②step[v]=max(step[u])+1，v为必胜态，u为v的后继，会挑步数最多的后继转移

③step[v]=min(step[u])+1，v为必败态，u为v的后继，会挑步数最少的后继转移

这其实很像alpha-beta的剪枝算法

Every-SG定理

我们认为，最后一个结束的游戏中胜者是最终的获胜者，

那么，先手必胜，当且仅当该单一游戏的最大step为奇数

口胡证明以下三条：

①先手必胜step为奇数，后手必胜step为偶数，

数学归纳法显然，一步是先手必胜，两步是后手必胜，剩下的都是先后手轮流走

②设最大的step为max，既然max存在，说明后手只能一次令max最多减一步，

而先手一次也不得不令max减一步，说明先手可以达到这个max

③设最大的step为max，则其它必败游戏中最大step2<=max，

而这在后手必胜的情况下，先手只能一次令step2最多减一步，后手不得不令step2减一步，

同理说明后手也可达（step2-1），又因为step2<=max，故先手最多在max步结束其必败游戏

 

翻硬币游戏

规则：

从左到右1-n标号的硬币，有正有反

每次可以翻若干枚连续的硬币，

但要求翻的这些硬币里，最右边那枚一定是从正翻到反

即在翻的过程中，正的硬币的最右位置不断向左移动

翻硬币定理

总局面的SG值，为每个正面硬币朝上单独存在的局面的SG值的异或和

如令1为正面朝上，0为反面朝上，则sg[011001]=sg[01]^sg[001]^sg[000001]，

故讨论问题时，单独讨论形如00001这样的一串0后缀一个1的sg值即可

 

这里有一些奇奇怪怪的翻硬币游戏及其sg值的规律：https://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3218060.html

如：翻一个硬币、翻一个硬币或非连续两个硬币、翻连续k个硬币

Subtraction Games、Twins游戏、MockTurtles游戏、Ruler游戏、Grunt游戏

不过看了这么多博弈好像也没见出过这样的翻硬币题目，出了就打表找规律呗……

 

翻硬币其实就是对某个右端点为1的区间异或1

证明可采用数学归纳法，和nim游戏的证明非常类似

如果我们对左起第i位赋权值(1<<i)，则这样的异或方式，满足按位模2加法(不进位)

而局面的总权值，是这些二进制位权值的和，

由于正的硬币的最右位置不断向左移动，某个局面的权值是不断减小的

 

这也对应了nim游戏中，某堆石子只能减少不能增多，这个图逆时针转90度是不是好点

如果我们只能连续翻一枚硬币，这与nim游戏一次只能取完一堆石子是等价的

如果我们能连续翻两枚硬币，这与nim游戏一次只能取完一堆石子的一半是等价的

即001(左起低位二进制)只能变成010(左起低位二进制)，再变成100(左起低位二进制)

然后就终止了，恰对应4->2->1的取石子过程

 

对于连续若干枚的硬币，也是存在只能向某个特定石子数转化的情形，

毕竟全反面朝上的也可认为是全0即终止局面嘛，所以是可以认为nim游戏的一种，

故符合nim游戏的性质，局面的sg值等于这些正面朝上sg值的异或，

口胡的证明，严格证明不大会证

这沙雕游戏为啥不规定一下最左边那枚从正到反，这样就和二进制高低位完美对应了

 

树的删边游戏

规则：

有一棵树，两人可轮流选一条边，

把这条边和它连的子树一起删掉，无边可删者输

树的删边定理

①叶子结点leaf的SG值sg[leaf]=0

②某棵树的根节点的SG值sg[root]=(sg[i]+1)^(sg[j]+1)^...^(sg[k]+1)，其中i、j、k是其子节点，^是异或

 

口胡证明：

①一个节点无边可删，sg[root]=0；两个节点一条边，sg[root]=mex{sg[leaf]}=1=sg[leaf]+1，均成立

②设小于等于K个节点均成立，数归证(K+1)个节点也成立，

以下设根为点A，分A有一棵子树和A有多棵子树讨论

 

第一种情况：A只有一棵子树，且这棵树的根为点B，

计以A为根节点的全树为G，不包含A点和AB边的以B为根节点的树为GG

显然G的点数为(K+1)，GG的点数为K

①删去边AB则必胜，故该局面存在sg=0的后继局面

②删去B这棵子树里的一条边E，E至少带走一个叶子结点，

使得G-E的点数<=K，且G-E和GG-E都具有完整树形

由归纳假设G-E的点数<=K和小于等于K个节点均成立，

设sg[树(GG-E)中的根B]=P，则sg[树(G-E)中的根A]=sg[树(GG-E)中的根B]+1=P+1，成立

③设sg[树GG中的根B]=Q，则由sg函数定义，

该树可以通过删一条边E，转移到sg值为[0,Q-1]的局面，

即sg[树(GG-E)中的根B]的值域为[0,Q-1]，

由②知，sg[树(G-E)中的根A]的值域为[1,Q]

由①知，sg[树(G-E)中的根A]也可取到值0，

故sg[树(G-E)中的根A]的值域为[0,Q],

由sg函数定义，sg[树G中的根A]=Q+1=sg[树GG中的根B]+1，成立

 

第二种情况：A有若干棵子树，子树的根分别为B、C、D……

即证sg[A]=sg[B]^sg[C]^...^sg[D]，

显然根节点对答案是没有影响的，那我们就把A拆点

有k棵子树就把A拆成k个点，每个点挂一棵子树

这样我们发现，在原树上断边的时候，一次最多断掉一棵A的子树，

这和在拆点之后的只挂一棵子树的A上进行操作是一样的，

于是，一棵树的操作就等价于多棵树的操作，

满足sg函数性质的游戏与nim游戏是一样的

第一种情况中已证一棵树的sg[root]=sg[子节点]+1

该情况下只需将多棵树的sg值异或起来，

即拆点之后的k个A点的sg值异或起来，等于拆点之前的A点的异或值

 

只有简单环的图的删边游戏

例题：poj3710 Christmas Game

规则：

有N个图，每个图是在上题中的树中加了一些边和点后，有了简单环，

即原树上的一个节点，最多只能被加进一个以该点为起点该点为终点的简单环，

且简单环之间没有公共边，

两人轮流删边，删边之后与根节点不连通的部分被一并删掉，

无边可删者输，给定图，问谁必胜

简单环的性质

注意到上题中，树上的链的性质，

有根之后每个非叶结点只有一个子节点

对于一条链，若定一端为根A，另一端为叶子E，

不妨这条链ABCDE五个点，则sg[E]=0，sg[D]=1，sg[C]=2，

即sg[root]与这条链的边数相同，自然与链长同奇偶

①长度为奇数的环，

去掉任意一条边后，剩下的两条链同奇偶，共用一个节点root2

故sg[链1]与sg[链2]同奇偶，二者异或不可能为奇数，

又因为去掉中间那条边后，两条链是完全相同的，

存在后继状态使得sg[链]^sg[链]=0，故sg[root2]=1

sg相同的有根节点的子图对其父节点的贡献是等价的，

因此，可以把奇环等效成长度为1的链

②长度为偶数的环，

去掉任意一条边后，剩下的两条链异奇偶，共用一个节点root3

故sg[链1]与sg[链2]异奇偶，二者异或不可能为0，故sg[root3]=0

同理，可以把偶环消成只有root3一个点

 

消去环之后的图就变成了一棵树，solution同上例，

各树求根节点sg值后，异或即可

 

此外还有一个Colon Principle(冒号原则)

即：一个节点的若干条链的长度值异或在一起，

得到新的长度，用该长度去构造该节点的一条新链

实际应用意义感觉不大，当做了解吧

 

无向图的删边游戏

规则：

一个无向连通图，有一个根节点，

二人轮流删边，删边之后与根节点不连通的部分被一并删掉，

无边可删者输，给定图，问谁必胜

即环没有了简单环的性质，变得更为一般化

不加证明的给出定理：

其实和Tarjan缩点有点像，又结合了上例sg值不会变的性质

Fusion Principle（融合原则）

即：

任意一个奇环缩成一个点加一条新边

任意一个偶环缩成一个点

实际代码不会敲……就当理解叭……

 

心得

博弈真的是深坑啊……去年寒假学了一部分现在发现啥也没学……

学完树的删边这些，发现这只是Green Hachenbush（树上公平删边游戏）

还有一种不公平删边，一方只能删除蓝边，另一方只能删除红边，而双方都可以删除绿边

很迷很迷……估计以后还会有各种各样的迷之变种……

先把论文提到的课后题做了叭……

 

例题

基本除了sg打表题，都是这篇论文讲的吧……

		A	HDU 1404	Digital Deletions
		B	HDU 2509	Be the Winner
		C	HDU 3032	Nim or not Nim?
		D	HDU 3590	PP and QQ
		E	HDU 3595	GG and MM
		F	HDU 5795	A Simple Nim
		G	POJ 1021	2D-Nim
		H	POJ 1678	I Love this Game!
		I	POJ 2960	S-Nim
		J	POJ 2975	Nim
		K	POJ 3480	John
		L	POJ 3537	Crosses and Crosses
		M	POJ 3710	Christmas Game