Educational Codeforces Round 156 (Rated for Div. 2) D. Monocarp and the Set（组合数学 插空法）

题目

对于一个未确定的长为n的排列a(2<=n<=3e5)，

一开始写下一个长为n-1的串，每个字母有?，<，>三种可能

第i(1<=i<=n-1)个字母，

①为<，表示a[i+1]是[1,i+1]的最大值

②为<，表示a[i+1]是[1,i+1]的最小值

③为?，表示a[i+1]既不是[1,i+1]最大值也不是最小值

m(m<=3e5)次修改，每次选一个位置x(1<=x<=n-1)，将这个位置原来的字母改成?，<，>的某一个

询问修改前的满足限制的合法排列数，

以及每次修改后满足限制的合法排列数

思路来源

jiangly代码

题解

不看不会，一看秒会

注意到，如果i在[1,i-1]已经确定好的排列里插空，

也就是确定了相对大小，那么排列是唯一确定的

这个插空的思想，以下这类dp是一类经典题：

CCPC-Wannafly Winter Camp Day4 G.置置置换/hdu4055 Number String(dp/波浪排列)_波浪排列计数-优快云博客

如果第一个字母既不是最大值也不是最小值，无解，

因为前两个数字一定一个是最大值一个是最小值

从第二个字母开始，比如到第i个字母，需要决定第i+1个值的大小关系时，

[1,i]总共有i+1个空，其中最大值、最小值各对应一个空，方案唯一空，而?对应i-1个空

所以，维护从第二个字母开始?方案的乘积，最大最小方案都唯一

修改时除掉原来的，乘上新改的，

询问时，先判断第一个字母是不是最大最小值的一个，不是输出0，

否则输出从第二个字母开始?方案的乘积

代码

#include<iostream>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef pair<int,int> P;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define dbg(x) cerr<<(#x)<<":"<<x<<" ";
#define dbg2(x) cerr<<(#x)<<":"<<x<<endl;
#define SZ(a) (int)(a.size())
#define sci(a) scanf("%d",&(a))
#define scll(a) scanf("%lld",&(a))
#define pt(a) printf("%d",a);
#define pte(a) printf("%d\n",a)
#define ptlle(a) printf("%lld\n",a)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
const int N=3e5+10,mod=998244353;
int n,m,x,ans=1,inv[N];
char s[N],w[5];
//s[i]表示序列的第i个数
//第一个值(插入的第二个数)为?无解，单独维护，否则对答案贡献是1，ans维护[3,n]的?方案乘积
int cal(){
    if(s[2]=='?')return 0;
    return ans;
}
int main(){
    sci(n),sci(m);
    inv[0]=inv[1]=1;
    rep(i,2,n){
        inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    }
    scanf("%s",s+2);
    rep(i,3,n){
        if(s[i]=='?')ans=1ll*ans*(i-2)%mod;
    }
    printf("%d\n",cal());
    while(m--){
        scanf("%d%s",&x,w);
        x++;
        if(x!=2 && s[x]=='?'){
            ans=1ll*ans*inv[x-2]%mod;
        }
        s[x]=w[0];
        if(x!=2 && s[x]=='?'){
            ans=1ll*ans*(x-2)%mod;
        }
        printf("%d\n",cal());
    }
	return 0;
}