Codeforces Round 114 (Div. 1) C. Wizards and Numbers（思维题 辗转相除+博弈 巴什博弈）

题目

t(t<=1e4)组询问，每次询问(a,b)（0<=a,b<=1e18），

不妨a<=b（a>b时需要交换两个数考虑）

①令b减去a的k次方（k>=1），要求减完之后b非负

②令b=b%a

当a和b之中至少有一个0时，无法再操作，不能再操作的人失败

问两人都客观操作，谁必胜

思路来源

https://www.cnblogs.com/qscqesze/p/5193592.html

题解

补远古场翻到卿学姐博客，泪目

如果只有第二种操作，那就是辗转相除

1. 对于子局面，如果子局面必败，那么当前局面必胜

2. 如果子局面必胜，那么当前局面不想输，只能用第一种操作去拖，

b>=a时，相当于有b/a（b/a个a）个石子，

先手和后手可以取1（1个a）枚，a枚（a个a），a^2，...

取到最后一个石子的人必败（即进入子局面的必胜态），问先手在这个拖的游戏里能否必胜

打表可知，当(b/a)%(a+1)为偶数时，先手必胜，(b/a)%(a+1)为奇数时，先手必败

一点证明

注意到：

1%(a+1)=1

a%(a+1)=a

(a^2)%(a+1)=1

(a^3)%(a+1)=a

...

先手必胜的情况

当(b/a)%(a+1)为偶数时，先手可以先取1个

此时（在模a+1意义下）后手如果取1个，先手就再取a个；

反之后手取a个，先手就再取1个

这样若干轮后，(b/a）起到了对（a+1）取模的效果，即当前剩余石子数不超过a，

并且先手在第一轮由于多取1个石子，此时必还剩奇数个石子，后手只能取一枚，

此后，二人只能一枚一枚的取，所以一定是后手取到最后一个石子，后手必败

后手必胜的情况

当(b/a)%(a+1)为奇数时，

（在模a+1意义下）先手如果开局取1个，后手可以取a个

先手如果开局取a个，后手可以取1个

这样若干轮后，(b/a）起到了对（a+1）取模的效果，

当前局面不足a+1且石子数仍为奇数

此后，先手和后手只能一枚一枚地取，且先手取到最后一枚，先手必败

其实就是，

先手必胜就是用第2、3步，第4、5步，...，去凑k+1的倍数

后手必胜就是用第1、2步，第3、4步，...，去凑k+1的倍数

其他理解方式，

(b/a)%(a+1)=1是先手必败态，

(b/a)%(a+1)为奇数总可以转移到(b/a)%(a+1)为偶数，

(b/a)%(a+1)为偶数总可以转移到(b/a)%(a+1)为奇数，

所以奇数必败，偶数必胜

代码

// Problem: C. Wizards and Numbers
// Contest: Codeforces - Codeforces Round 114 (Div. 1)
// URL: https://codeforces.com/contest/167/problem/C
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef pair<ll,int> P;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define dbg(x) cerr<<(#x)<<":"<<x<<" ";
#define dbg2(x) cerr<<(#x)<<":"<<x<<endl;
#define SZ(a) (int)(a.size())
#define sci(a) scanf("%d",&(a))
#define scll(a) scanf("%lld",&(a))
#define pt(a) printf("%d",a);
#define pte(a) printf("%d\n",a)
#define ptlle(a) printf("%lld\n",a)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
int t;
ll a,b;
bool sol(ll a,ll b){
	if(a<b)swap(a,b);
	if(!b)return 0;
	ll x=sol(b,a%b);
	if(!x)return 1;
	ll w=a/b,y=w%(b+1);
	return y%2==0;
}
void sol(){
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	puts(sol(a,b)?"First":"Second");	
}
int main(){
	sci(t); // t=1
	while(t--){
		sol();
	}
	return 0;
}