IMO2020 D1T3(欧拉回路)

题目

思路来源

gzchenben的ppt

题解

数竞题，欧拉回路经典问题了，在cf也出过

Codeforces Round #770 (Div. 2) E. Fair Share（欧拉回路）_codeforces 构造 欧拉回路_Code92007的博客-优快云博客

这里再总结一下欧拉回路的这个套路

首先建图，同一种颜色视为同一个点，

由于要满足两堆小石子具有相同的总重量，

可以把4n枚小石子看做是2n对，即(1,4n),(2,4n-1),...,(2n,2n+1)

石子对的内部进行连边，即对于1<=i<=2n，将i和4n+1-i连无向边

只要每一对石子属于同一堆，每一堆有n对，即可实现总重量相等的要求

假设n=3，

4n个石子中，1,2,6,9为A颜色，3,4,5,11为B颜色，7,8,10,12为C颜色，

则可以这么建无向图

A-C (1,12)

A-B (2,11)

B-C (3,10)

B-A (4,9)

B-C (5,8)

A-C (6,7)

其中，前面是边，后面是与之对应的点对

建好图后，发现颜色的n个点，每个点的度均为4，

则图一定有欧拉回路，求出一个欧拉回路，回路共2n条边

可以将这2n条边黑白染色，分为两堆

则：

①由于图上每条边，对应一个点对，即和为4n+1的两枚小石子，

所以总重量相等，且可还原方案

②由于欧拉回路中，点[i]的入度和出度相等，in和out时在序列中的奇偶性也不同

所以按黑白染色，每个颜色的点恰能等分

思考

点的概念很好取，主要在如何建图，

使得图存在欧拉回路，且奇偶染色可以满足要求

1. 本题：n个颜色视为点，将i和4n+1-i连边，

欧拉回路交替取，每条边对应的两个点归属给同一方

点可被两侧等分（边维度）：

将欧拉回路对应边的序号写成序列，对于每个点，

其in边和out边在序列位置的奇偶性一定不同

即in边全奇，out边全偶；或in边全偶，out边全奇。

2. cf的E题：n个值视为点，将同组i和i+1连边，

欧拉回路交替取，每条边对应的两个点归属给不同方

点可被两侧等分（点维度）：

将欧拉回路对应的边的两个点号写成序列，

例如，u->v->w，则序列写做u,v,v,w，对于每个点，

其in的时间戳和out的时间戳在序列位置的奇偶性一定不同

即in时间戳全奇，out时间戳全偶；或in时间戳全偶，out时间戳全奇。