Educational Codeforces Round 142 (Rated for Div. 2) E. Divisors and Table(数论+dp 素因子求因子 补写法)

题目

t(t<=10)组样例，每次给定n,m1,m2(1<=n,m1,m2<=1e9)

表示有一个n*n的方阵，格子(i,j)(1<=i,j<=n)上写的数是i*j

令m=m1*m2，对于m的每一个因子x，

记方阵中出现x的最小的行数为row[x](1<=row[x]<=n)，若未出现，则row[x]=0

需要输出满足row[x]>0的个数cnt，以及所有row[x]的异或和xor

思路来源

rainboy代码

题解

先求出m的所有因子，然后考虑dp

i*j=x，i越小越好，则j越大越好，dp[x]记录x最大的不超过n的因子j

转移枚举x的所有质因子p，dp[x]从dp[x/p]转移而来

其实dp直接维护最小的i也可以，只是在转移的时候，

需要考虑本次能否将p分配给j（i能不变尽量不变），

不能分（j*p>n）的话再考虑能否将p分配给i，

再不能分（i*p>n）的话，就无解了，略麻烦一步

心得

赛中用正解配合map搞过去了，2.5s的题跑了2s，

一看rainboy提交，62ms，还是来学习一下吧

一些学到的tips

1. 如何确定数组开多大？

https://oeis.org/A066150 ，x位数最大的因子个数，18位数对应103680

2. 如何用memset变长初始化？

memset时指定个数，就可以起到手动初始化的作用

memset(dp,-1,d[c]*sizeof *dp);

3. 如何预处理所有因子？

根据约数定理，

对于，其约数个数，

考虑新增一个数的增量贡献，

实际是

记

因此，可以令区间中下标对应的数，

从通过新增一个素因子转移而来

for(int i=0;i<c;++i){
    d[i+1]=d[i]*(num[i]+1);
    for(int j=d[i];j<d[i+1];++j){
        v[j]=v[j-d[i]]*p[i];
    }
}

4. 如何判断每个因子有哪些质因子？

根据刚才的转移方式，每个长为的分区，

前个是不包含的，后面的才是包含的，

所以，遍历个质因子时，对于下标对应的数，

只有落到后半段，才表明包含这个质因子，需要从转移而来

 for(int i=0;i<c;++i){
     for(int j=0;j<d[c];++j){
         if(j%d[i+1]>=d[i]){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-d[i]]);
         }
     }
 }

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=103680;// https://oeis.org/A066150
#define fi first
#define se second
map<int,int>fac;
int t,n,m1,m2,cnt;
int p[N],num[N],d[N],c;
ll dp[N],v[N],xo;
void f(int x){
    for(int i=2;1ll*i*i<=x;++i){
        while(x%i==0)x/=i,fac[i]++;
    }
    if(x>1)fac[x]++;
}
int main(){
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>m1>>m2;
        f(m1);f(m2);
        for(auto &x:fac){
            p[c]=x.fi;
            num[c++]=x.se;
        }
        v[0]=d[0]=1;
        for(int i=0;i<c;++i){
            d[i+1]=d[i]*(num[i]+1);
            for(int j=d[i];j<d[i+1];++j){
                v[j]=v[j-d[i]]*p[i];
            }
        }
        memset(dp,-1,d[c]*sizeof *dp); // 指定个数memset
        for(int i=0;i<d[c];++i){
            if(v[i]<=n)dp[i]=max(dp[i],v[i]);
        }
        for(int i=0;i<c;++i){
            for(int j=0;j<d[c];++j){
                if(j%d[i+1]>=d[i]){
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-d[i]]);
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<d[c];++i){
            if(dp[i]==-1)continue;
            if(v[i]/dp[i]<=n){
                cnt++;
                xo^=v[i]/dp[i];
            }
        }
        cout<<cnt<<" "<<xo<<endl;
        cnt=xo=c=0;
        fac.clear();
    }
    return 0;
}