认识时间，空间复杂度、异或和简单排序算法

1、简单的认识一下时间复杂度

常数操作：加减乘除，寻址操作（看一下某个变量的值）

有n个数，编号0 到 N-1，要想给这些数排序，简单选择排序的便是执行以下步骤：

0………………………………N-1

1）遍历这n个数，从中找出最小的数，与第0个位置的数交换位置。第0个数就放在一边，不用考虑了，

​ 1 …………………………N-1

2）遍历这n-1个数，从中找出最小的数，与第1个位置的数交换位置。第1个数就放在一边，不用考虑了，

以此类推：

…………………………N-2 N-1

…………………………………N-1

这样，n个数就从小到大排好了。

第一步遍历n个数（寻址操作N次），找出最小的数（比较操作N-1次），交换位置 (1次）

第二步遍历n-1个数（寻址操作N-1次），找出最小的数（比较操作N-2次），交换位置 (1次）

以此类推：

最后一步遍历1 个数（寻址操作1 次），找出最小的数 （比较操作1次），交换位置（1次）

将所有的次数相加
$$\begin{gathered} 寻址操作：N+N-1+N-2+\dots \dots \dots +1=\frac{N^2+N}{2} \\ 比较操作：N-1+N-2+\dots \dots +1=\frac{N^2}{2} \\ 交换位置：1+1+\dots \dots +1=N \\ 最终相加为=N^2+\frac{N}{2}+N \end{gathered}$$
时间复杂度就是将所有的低阶项忽略掉，只保留最高阶项，且最高阶项的系数也忽略掉。如果算法的时间复杂度会因为数据的不同而有所变化，那么它的时间复杂度为最差时候的结果。

所以以上排序算法的时间复杂度为O（N²）

如果有两种算法算出的时间复杂度一致，那么只能通过实际跑代码来测，来评定哪种算法更出色。

2、 空间复杂度

使用有限个变量运行程序，这个程序的空间复杂度就是O（1）

3、一些简单的排序算法流程

1、冒泡排序：第i个与第i + 1个比较，较大的后移。

3 5 4 1 2 3 < 5 不做交换

3 5 4 1 2 5 > 4 交换位置

3 4 5 1 2 5 > 1 交换位置

3 4 1 5 2 5 > 2 交换位置

3 4 1 2 5 到这里，最大值5就移动到最后的位置了。

然后重复以上步骤。

2、选择排序：

3 2 1 4 5

2 3 1 4 5

2 1 3 4 5

1 2 3 4 5

4、 异或：还可以理解为无进位相加(二进制)

5 ^ 2 = 7

​ 1 0 1

+ 0 1 0

​ 1 1 1

1、性质

$$\begin{gathered} 0\wedge N=N \\ N\wedge N=0 \\ 满足交换律：A\wedge B=B\wedge A \\ 满足结合律：A\wedge B\wedge C=A\wedge (B\wedge C)n个数异或，无论谁先谁后，结果相同：A\wedge B\wedge C\wedge D\dots \dots \dots \dots \end{gathered}$$

2、交换两个变量的值

int a, b;
a = m, b = n;
//交换a和b的值
{
    a = a ^ b   //a = a ^ b; b = b;
    b = a ^ b   //a = a ^ b; b = a ^ b ^ b = a;
    a = a ^ b   //a = a ^ b ^ a = b; b = a;
}

3、例题

问题：要求：时间复杂度O（N）空间复杂度O（1）

1）一个数组中，有一种数，出现奇数次； 其他的数出现偶数次。找出这种数

public static void n(int[] arr){
    int eor = 0;
    for(int cur : arr){
        eor ^= cur;
    }
    //最后的得到的ans就是出现奇数次的数
    System.out.println(eor);
}

2）一个数组中，有两种数，出现奇数次；其他的数出现偶数次。找出这两种数

public static void m(int[] arr){
    int eor = 0;
    for(int cur : arr){
        eor ^= cur;
    }
    //eor = a ^ b
    //eor != 0
    //eor的二进制数必有一位为1
    
    //提取最右侧eor二进制数最右侧的1 (~eor就是eor取反)
    int right = eor ^ (~eor + 1);
    int eor1 = 0;
    //只异或这一位是0的数，就可以找出来其中一个数。
    for(int cur : arr){
        if(cur & right == 0){
            eor1 ^= cur;
        }
    }
    System.out.println(eor1);
    System.out.println(eor1 ^ eor);
}

5、 二分法详解

1、在一个有序数组中，找某个数是否存在（O（log₂ N））

2、在一个有序数组中，找>= 某个数最左侧的位置（O（log₂ N））

3、局部最小值问题（一个数组，无序，相邻两个数不相等）

6、对数器（random）

1.有一个你想要测的方法a；
2.实现一个绝对正确但是复杂度不好的方法b；
3.实现一个随机样本产生器；
4.实现对比算法a和b的方法；
5.把方法a和方法b比对多次来验证方法a是否正确；
6.如果有一个样本使得比对出错，打印样本分析是哪个方法出错；
7.当样本数量很多时比对测试依然正确，可以确定方法a已经正确。