[BZOJ2394/4659]Lcm（莫比乌斯反演）

题目描述

传送门

题解

刚开始有一个非常傻逼的方法
就是画柿子画成了这个样子

$$\sum\limits_{T=1}^ns({n\over T},{m\over T})\sum\limits_{p(d)|T}\mu({p(d)\over T})({p(d)\over T})^2p(d)$$
其中 $p(d)$表示第 $d$个不含平方因子的数
但是这玩意没法筛，只能暴力求卡时过
但其实这道题还有一种更科学的方法
令$f(i)=\mu(i)^2$，可以发现 $f$是一个积性函数
然后假设$n<m$，再画一波柿子
$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{d=1}^n[(i,j)=d]{ij\over d}f(d)$$
$$=\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1}^{n\over d}\sum\limits_{j=1}^{m\over d}[(i,j)=1]ijdf(d)$$
利用反演公式 $[n=1]=\sum\limits_{d|n}\mu(d)$
$$=\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{t=1}^{n\over d}\sum\limits_{i=1}^{n\over d}[t|i]i\sum\limits_{j=1}^{m\over d}[t|j]j\mu(t)df(d)$$
令 $s(n,m)=\sum\limits_{i=1}^ni+\sum\limits_{j=1}^mj$
$$=\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{t=1}^{n\over d}s({n\over dt},{m\over dt})t^2\mu(t)df(d)$$
令 $T=dt$，那么现在 $d$为$T$的约数
$$=\sum\limits_{T=1}^ns({n\over T},{m\over T})\sum\limits_{d|T}\mu({T\over d})({T\over d})^2df(d)$$
令 $F(n)=\sum\limits_{d|n}\mu({n\over d})({n\over d})^2df(d),f'(d)=df(d),g(n)=\sum\limits_{d|T}\mu({T\over d})({T\over d})^2$
那么 $F=g\times f'$就是一个狄利克雷卷积的形式
可以发现 $g$和$f'$都是积性函数，那么 $F$也是积性函数，用线性筛可以求
比较简单的是当$p$为质数时， $F(p)=p-p^2$；当 $(a,b)=1$时， $F(ab)=F(a)F(b)$
当 $(a,b)\ne 1$时，也就是用 $F(a)$和 $p$推出$F(ap)$
可以发现 $a$此时最多含有一个质因子$p$，否则 $F(ap)=0$
那么我们将 $p$先除掉，那么$a\over p$和 $p^2$就变成了互质的数
又因为 $F(p^2)=-p^3$，所以 $F(ap)=F({a\over p})*(-p^3)$
这样就能求出 $F$了
那么原式
$$=\sum\limits_{T=1}^ns({n\over T},{m\over T})F(T)$$
同样分块。。。
时间复杂度 $O(n+T(\sqrt n+\sqrt m))$

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>
using namespace std;
#define Mod 1073741824
#define N 4000005
#define LL long long

int T,n,m,ans;
int p[N],prime[N],mu[N],f[N];

void get(int n)
{
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!p[i])
        {
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            int t=i*prime[j];
            p[t]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mu[t]=0;
                break;
            }
            else mu[t]=-mu[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;++i) 
        if (mu[i])
            for (int j=1;j*i<=n;j++) f[j*i]=f[j*i]+mu[j]*j*j*i;
    for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i]+f[i-1];
}
int calc(int n,int m)
{
    return (n*(n+1)>>1)*(m*(m+1)>>1);
}
int main()
{
    get(4000000);
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if (n>m) swap(n,m);
        ans=0;
        for (int i=1,j=0;i<=n;i=j+1)
        {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=calc(n/i,m/i)*(f[j]-f[i-1]);
        }
        ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
}

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>
using namespace std;
#define Mod 1073741824
#define N 4000005
#define LL long long

int T,n,m,ans;
int p[N],prime[N],mu[N],f[N],g[N],t[N];

void get(int n)
{
    f[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!p[i])
        {
            prime[++prime[0]]=i;
            f[i]=i-i*i;
            t[i]=1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            p[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                if (t[i]>=2) f[i*prime[j]]=0;
                else
                    f[i*prime[j]]=-f[i/prime[j]]*prime[j]*prime[j]*prime[j];
                t[i*prime[j]]=t[i]+1;
                break;
            }
            else
            {
                f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]];
                t[i*prime[j]]=1;
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i]+f[i-1];
}
int calc(int n,int m)
{
    return (n*(n+1)>>1)*(m*(m+1)>>1);
}
int main()
{
    get(4000000);
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if (n>m) swap(n,m);
        ans=0;
        for (int i=1,j=0;i<=n;i=j+1)
        {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=calc(n/i,m/i)*(f[j]-f[i-1]);
        }
        ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
}