[HDU1588]Gauss Fibonacci（递推+矩阵快速幂）-优快云博客

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该博客介绍了如何使用递推和矩阵快速幂方法解决HDU1588题目，涉及Fibonacci数列的第n项求和问题，通过二分递推和矩阵运算来求解模意义下的答案。

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题目描述

传送门
题意
给出整数k,b,n,Mod.
令F(n)为Fibonacci数列的第n项，f(x)=kx+b，求 $\sum\limits_{i=0}^{n-1}F(f(i))$
答案对Mod取模。

题解

经典的二分递推+矩阵快速幂的题目。
和POJ3233有点相似。
初始矩阵

A = [1110]

$A= {\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}}$
则

An $A^n$ 的(1,2)位置表示Fibonacci数列的第n项的值。
令

s u m (i) = \sum i = 1 n A f (i)

$sum(i)=\sum\limits_{i=1}^n A^{f(i)}$
那么对于

sum(x) $sum(x)$ ，考虑从

sum(⌊x2⌋) $sum(\lfloor{x\over 2}\rfloor)$ 递推过来

一个性质显然：

f (x + y) = f (x) + f (y) - b

$f(x+y)=f(x)+f(y)-b$
如果x为偶数，则

s u m (x) = (1 + A f (x 2) - b) * (A f (1) + A f (2) + \dots \dots + A f (x 2))

$sum(x)=(1+A^{f({x\over 2})-b})*(A^{f(1)}+A^{f(2)}+……+A^{f({x\over 2})})$
即

s u m (x) = (1 + A f (x 2) - b) * s u m (x 2)

$sum(x)=(1+A^{f({x\over 2})-b})*sum({x\over 2})$
如果x为奇数，则

s u m (x) = A f (1) + (A f (1) - b + A f (⌊ x 2 ⌋ + 1) - b) * (A f (1) + A f (2) + \dots \dots + A f (⌊ x 2 ⌋))

$sum(x)=A^{f(1)}+(A^{f(1)-b}+A^{f(\lfloor{x\over 2}\rfloor+1)-b})*(A^{f(1)}+A^{f(2)}+……+A^{f(\lfloor{x\over 2}\rfloor)})$
即

s u m (x) = A f (1) + (A f (1) - b + A f (⌊ x 2 ⌋ + 1) - b) * s u m (⌊ x 2 ⌋)

$sum(x)=A^{f(1)}+(A^{f(1)-b}+A^{f(\lfloor{x\over 2}\rfloor+1)-b})*sum(\lfloor{x\over 2}\rfloor)$
这样直接递推就好了。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define LL long long

int k,b,n,Mod;
struct hp{LL a[3][3];}unit,A,A_b,A_kb,ans;

inline hp jia(hp a,hp b)
{
    for (int i=1;i<=2;++i)
        for (int j=1;j<=2;++j)
            a.a[i][j]=(a.a[i][j]+b.a[i][j])%Mod;
    return a;
}
inline hp cheng(hp a,hp b)
{
    hp ans;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    for (int i=1;i<=2;++i)
        for (int j=1;j<=2;++j)
            for (int k=1;k<=2;++k)
                ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%Mod)%Mod;
    return ans;
}
inline hp matrix_fast_pow(hp a,LL p)
{
    hp ans=unit;
    for (;p;p>>=1,a=cheng(a,a))
        if (p&1)
            ans=cheng(ans,a);
    return ans;
}
inline hp dfs(int x)
{
    if (x==1) return A_kb;
    hp now=dfs(x/2);
    if (x%2==0)
    {
        hp nxt=matrix_fast_pow(A,(LL)k*(LL)(x/2));
        nxt=jia(nxt,unit);
        nxt=cheng(nxt,now);
        return nxt;
    }
    else
    {
        hp nxt=matrix_fast_pow(A,(LL)k*(LL)(x/2+1));
        hp A_f=matrix_fast_pow(A,(LL)k+(LL)b);
        hp A_fb=matrix_fast_pow(A,(LL)k);
        nxt=jia(nxt,A_fb);
        nxt=cheng(nxt,now);
        nxt=jia(nxt,A_f);
        return nxt;
    }
}

int main()
{
    for (int i=1;i<=2;++i) unit.a[i][i]=1;
    A.a[1][1]=A.a[1][2]=A.a[2][1]=1; A.a[2][2]=0;
    while (~scanf("%d%d%d%d",&k,&b,&n,&Mod))
    {
        A_b=matrix_fast_pow(A,(LL)b);
        A_kb=matrix_fast_pow(A,(LL)k+(LL)b);
        if (n==1)
        {
            printf("%I64d\n",A_b.a[1][2]);
            continue;
        }
        ans=dfs(n-1);
        ans=jia(ans,A_b);
        printf("%I64d\n",ans.a[1][2]);
    }
}